선형 변환 (線型變換, 영어 : linear transformation, vector space homomorphism, linear function ) 또는 선형 사상 (線型寫像, 영어 : linear map, linear mapping ) 또는 선형 연산자 (線型演算子, 영어 : linear operator ) 혹은 선형 작용소 (線型作用素)는 선형대수학 에서 선형 결합 을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수 이다.
체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
동치 이며, 이를 만족시키는
T
{\displaystyle T}
선형 변환 이라고 한다.
다음 두 조건을 만족시킨다.
임의의 두 벡터
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
{\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
임의의 스칼라
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
T
(
a
v
)
=
a
T
(
v
)
{\displaystyle T(av)=aT(v)}
임의의 스칼라
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
T
(
a
u
+
v
)
=
a
T
(
u
)
+
T
(
v
)
{\displaystyle T(au+v)=aT(u)+T(v)}
임의의 자연수
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
a
1
,
a
2
,
…
,
a
m
∈
K
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\in K}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{m}\in V}
T
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
m
v
m
)
=
a
1
T
(
v
1
)
+
a
2
T
(
v
2
)
+
⋯
+
a
m
T
(
v
m
)
{\displaystyle T(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{m}v_{m})=a_{1}T(v_{1})+a_{2}T(v_{2})+\cdots +a_{m}T(v_{m})}
두 벡터 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle \hom(V,W)}
L
(
V
,
W
)
{\displaystyle L(V,W)}
V
{\displaystyle V}
단위 결합 대수 의 기호는
hom
(
V
)
{\displaystyle \hom(V)}
L
(
V
)
{\displaystyle L(V)}
T
:
V
→
K
{\displaystyle T\colon V\to K}
선형 범함수 (線型汎函數, 영어 : linear functional, linear form )라고 하며, 이들이 이루는 벡터 공간을 쌍대 공간
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
용어 '선형 연산자' · '선형 작용소' · '선형 범함수'는 보통 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환에 많이 쓰인다. 일부 문헌에서 '선형 변환' · '선형 연산자' · '선형 작용소' · '선형 범함수'은 정의역과 공역이 같은 선형 변환을 일컬으며, 이 경우 일반적인 선형 변환을 '선형 사상'이라고 부른다.
체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
순서 기저
B
V
=
{
v
1
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle B_{V}=\{v_{1},\dotsc ,v_{n}\}}
B
W
=
{
w
1
,
…
,
w
m
}
{\displaystyle B_{W}=\{w_{1},\dotsc ,w_{m}\}}
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
K
{\displaystyle K}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
T
{\displaystyle T}
B
V
,
B
W
{\displaystyle B_{V},B_{W}}
[
T
]
B
V
,
B
W
{\displaystyle [T]_{B_{V},B_{W}}}
임의의
X
∈
K
n
{\displaystyle X\in K^{n}}
T
(
∑
j
=
1
n
x
j
v
j
)
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
M
i
j
x
j
w
i
{\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}v_{j}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}M_{ij}x_{j}w_{i}}
즉, 임의의
X
∈
K
n
{\displaystyle X\in K^{n}}
T
(
(
v
1
v
2
⋯
v
n
)
X
)
=
(
w
1
w
2
⋯
w
m
)
M
X
{\displaystyle T\left({\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}X\right)={\begin{pmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{m}\end{pmatrix}}MX}
즉, 임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
[
T
(
v
)
]
B
W
=
[
T
]
B
V
,
B
W
[
v
]
B
V
{\displaystyle [T(v)]_{B_{W}}=[T]_{B_{V},B_{W}}[v]_{B_{V}}}
[
−
]
B
V
,
[
−
]
B
W
{\displaystyle [-]_{B_{V}},[-]_{B_{W}}}
즉, 다음 그림이 가환한다.
V
→
T
W
[
−
]
B
V
↓
↓
[
−
]
B
W
K
n
→
[
T
]
B
V
,
B
W
⋅
K
m
{\displaystyle {\begin{matrix}V&{\overset {T}{\to }}&W\\{\scriptstyle [-]_{B_{V}}}\!\downarrow &&\downarrow \!{\scriptstyle [-]_{B_{W}}}\\K^{n}&{\underset {[T]_{B_{V},B_{W}}\cdot }{\to }}&K^{m}\end{matrix}}}
T
(
v
j
)
=
∑
i
=
1
m
M
i
j
w
i
(
j
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle T(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}M_{ij}w_{i}\qquad (j=1,\ldots ,n)}
즉,
(
T
(
v
1
)
T
(
v
2
)
⋯
T
(
v
n
)
)
=
(
w
1
w
2
⋯
w
m
)
M
{\displaystyle {\begin{pmatrix}T(v_{1})&T(v_{2})&\cdots &T(v_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{m}\end{pmatrix}}M}
즉,
[
T
(
v
j
)
]
B
W
=
[
T
]
B
V
,
B
W
[
v
j
]
B
V
(
j
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle [T(v_{j})]_{B_{W}}=[T]_{B_{V},B_{W}}[v_{j}]_{B_{V}}\qquad (j=1,\ldots ,n)}
선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
영벡터의 상은 영벡터이다.
T
(
0
V
)
=
0
W
{\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}
덧셈 역원의 상은 덧셈 역원이다.
T
(
−
v
)
=
−
T
(
v
)
(
v
∈
V
)
{\displaystyle T(-v)=-T(v)\qquad (v\in V)}
선형 종속 벡터들의 상은 선형 종속 벡터이며, 선형 독립 벡터들을 보존할 필요충분조건은 단사 함수 이다.
rank
T
(
S
)
≤
rank
S
(
S
⊆
V
)
{\displaystyle \operatorname {rank} T(S)\leq \operatorname {rank} S\qquad (S\subseteq V)}
핵
ker
T
{\displaystyle \ker T}
V
{\displaystyle V}
ker
T
=
{
v
∈
V
:
T
(
v
)
=
0
W
}
⊂
V
{\displaystyle \ker T=\{v\in V\colon T(v)=0_{W}\}\subset V}
상
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
W
{\displaystyle W}
T
(
V
)
=
{
T
(
v
)
:
v
∈
V
}
⊂
W
{\displaystyle T(V)=\{T(v)\colon v\in V\}\subset W}
T
{\displaystyle T}
단사 함수 일 필요충분조건은
ker
T
=
{
0
V
}
{\displaystyle \ker T=\{0_{V}\}}
T
{\displaystyle T}
전사 함수 일 필요충분조건은
T
(
V
)
=
W
{\displaystyle T(V)=W}
만약
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
dim
V
=
dim
W
{\displaystyle \dim V=\dim W}
두 벡터 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
전단사 선형 변환이 존재할 필요충분조건은
dim
V
=
dim
W
{\displaystyle \dim V=\dim W}
T
{\displaystyle T}
동형 사상 이고, 역사상
T
−
1
:
W
→
V
{\displaystyle T^{-1}\colon W\to V}
T
{\displaystyle T}
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}}
[ 1]
선형 변환은 정의역의 기저 의 상에 의해 유일하게 결정된다. 즉, 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
W
{\displaystyle W}
B
→
W
{\displaystyle B\to W}
V
→
W
{\displaystyle V\to W}
선형 변환은 점별 덧셈·점별 스칼라 곱셈·합성·역함수 연산을 갖추며, 이들에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
스칼라
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
T
,
U
:
V
→
W
{\displaystyle T,U\colon V\to W}
a
T
+
b
U
:
V
→
W
{\displaystyle aT+bU\colon V\to W}
선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
U
:
W
→
Z
{\displaystyle U\colon W\to Z}
U
T
:
V
→
Z
{\displaystyle UT\colon V\to Z}
전단사 선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
T
−
1
:
W
→
V
{\displaystyle T^{-1}\colon W\to V}
선형 변환
T
,
U
,
R
:
V
→
W
{\displaystyle T,U,R\colon V\to W}
T
+
U
=
U
+
T
{\displaystyle T+U=U+T}
(
T
+
U
)
+
R
=
T
+
(
U
+
R
)
{\displaystyle (T+U)+R=T+(U+R)}
선형 변환
T
,
U
:
V
→
W
{\displaystyle T,U\colon V\to W}
R
,
S
:
W
→
Z
{\displaystyle R,S\colon W\to Z}
a
,
b
,
c
,
d
∈
K
{\displaystyle a,b,c,d\in K}
(
c
R
+
d
S
)
(
a
T
+
b
U
)
=
a
c
R
T
+
a
d
S
T
+
b
c
R
U
+
b
d
S
U
{\displaystyle (cR+dS)(aT+bU)=acRT+adST+bcRU+bdSU}
이에 따라, 선형 변환의 집합
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle \hom(V,W)}
벡터 공간 을 이루며, 자기 선형 변환의 집합
hom
(
V
)
{\displaystyle \hom(V)}
단위 결합 대수 를 이룬다.
유한 차원 벡터 공간의 경우, 선형 변환의 행렬 표현은 각종 연산을 보존한다. 즉, 세 유한 차원 벡터 공간
V
,
W
,
Z
{\displaystyle V,W,Z}
B
V
,
B
W
,
B
Z
{\displaystyle B_{V},B_{W},B_{Z}}
[
a
T
+
b
U
]
B
V
,
B
W
=
a
[
T
]
B
V
,
B
W
+
b
[
U
]
B
V
,
B
W
a
,
b
∈
K
;
T
,
U
∈
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle [aT+bU]_{B_{V},B_{W}}=a[T]_{B_{V},B_{W}}+b[U]_{B_{V},B_{W}}\qquad a,b\in K;\;T,U\in \hom(V,W)}
[
U
T
]
B
V
,
B
Z
=
[
U
]
B
W
,
B
Z
[
T
]
B
V
,
B
W
T
∈
hom
(
V
,
W
)
;
U
∈
hom
(
W
,
Z
)
{\displaystyle [UT]_{B_{V},B_{Z}}=[U]_{B_{W},B_{Z}}[T]_{B_{V},B_{W}}\qquad T\in \hom(V,W);\;U\in \hom(W,Z)}
[
T
−
1
]
B
W
,
B
V
=
[
T
]
B
V
,
B
W
−
1
T
∈
hom
(
V
,
W
)
;
T
−
1
∈
hom
(
W
,
V
)
{\displaystyle [T^{-1}]_{B_{W},B_{V}}=[T]_{B_{V},B_{W}}^{-1}\qquad T\in \hom(V,W);\;T^{-1}\in \hom(W,V)}
벡터 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
n
,
m
{\displaystyle n,m}
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle \hom(V,W)}
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;K)}
hom
(
V
)
{\displaystyle \hom(V)}
정사각 행렬 공간
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}
유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 동치 행렬 이며, 정의역과 공역이 같은 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬은 서로 닮음 행렬 이다.
구체적으로,
V
{\displaystyle V}
B
V
,
B
V
′
{\displaystyle B_{V},B_{V}'}
W
{\displaystyle W}
B
W
,
B
W
′
{\displaystyle B_{W},B_{W}'}
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
[
T
]
B
V
,
B
W
{\displaystyle [T]_{B_{V},B_{W}}}
[
T
]
B
V
′
,
B
W
′
{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}}
[
T
]
B
V
′
,
B
W
′
=
[
U
B
W
,
B
W
′
]
B
W
−
1
[
T
]
B
V
,
B
W
[
U
B
V
,
B
V
′
]
B
V
{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}=[U_{B_{W},B_{W}'}]_{B_{W}}^{-1}[T]_{B_{V},B_{W}}[U_{B_{V},B_{V}'}]_{B_{V}}}
여기서
U
B
V
,
B
V
′
:
V
→
V
{\displaystyle U_{B_{V},B_{V}'}\colon V\to V}
U
B
W
,
B
W
′
:
W
→
W
{\displaystyle U_{B_{W},B_{W}'}\colon W\to W}
[
T
]
B
V
,
B
W
=
M
{\displaystyle [T]_{B_{V},B_{W}}=M}
[
T
]
B
V
′
,
B
W
′
=
N
{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}=N}
[
U
B
V
,
B
V
′
]
B
V
=
P
{\displaystyle [U_{B_{V},B_{V}'}]_{B_{V}}=P}
[
U
B
W
,
B
W
′
]
B
W
=
Q
{\displaystyle [U_{B_{W},B_{W}'}]_{B_{W}}=Q}
N
=
Q
−
1
M
P
{\displaystyle N=Q^{-1}MP}
특히, 만약
V
=
W
{\displaystyle V=W}
B
V
=
B
W
=:
B
{\displaystyle B_{V}=B_{W}=:B}
B
V
′
=
B
W
′
=:
B
′
{\displaystyle B_{V}'=B_{W}'=:B'}
U
B
,
B
′
:
V
→
V
{\displaystyle U_{B,B'}\colon V\to V}
[
U
B
,
B
′
]
B
=
P
{\displaystyle [U_{B,B'}]_{B}=P}
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
[
T
]
B
=
M
{\displaystyle [T]_{B}=M}
[
T
]
B
′
=
N
{\displaystyle [T]_{B'}=N}
[ 2]
[
T
]
B
′
=
[
U
B
,
B
′
]
B
−
1
[
T
]
B
[
U
B
,
B
′
]
B
{\displaystyle [T]_{B'}=[U_{B,B'}]_{B}^{-1}[T]_{B}[U_{B,B'}]_{B}}
즉, 다음과 같다.
N
=
P
−
1
M
P
{\displaystyle N=P^{-1}MP}
체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
항등 변환
id
:
V
→
V
{\displaystyle \operatorname {id} \colon V\to V}
v
↦
v
{\displaystyle v\mapsto v}
단위 행렬 이다.스칼라
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
c
⋅
:
V
→
V
{\displaystyle c\cdot \colon V\to V}
v
↦
c
v
{\displaystyle v\mapsto cv}
스칼라 행렬 이다.
모든 벡터를 영벡터 로 대응시키는 변환
0
:
V
→
W
{\displaystyle 0\colon V\to W}
v
↦
0
W
{\displaystyle v\mapsto 0_{W}}
영행렬 이다.
행렬
M
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
M
⋅
:
K
n
→
K
m
{\displaystyle M\cdot \colon K^{n}\to K^{m}}
x
↦
M
x
{\displaystyle x\mapsto Mx}
M
{\displaystyle M}
K
n
{\displaystyle K^{n}}
K
m
{\displaystyle K^{m}}
실수 집합 위의 선형 변환은 정비례 함수 가 다다.
2차원 유클리드 공간
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
선형 변환
행렬 표현
도해
시계 반대 방향 90도 회전
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
시계 반대 방향 135도 회전
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
(
θ
=
135
∘
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\qquad (\theta =135^{\circ })}
x
{\displaystyle x}
반사
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
모든 방향에서 2배 확대
(
2
0
0
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}}
x
{\displaystyle x}
전단
(
1
λ
0
1
)
(
λ
=
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}\qquad (\lambda =1)}
쌍곡 회전 (영어 : hyperbolic rotation )
(
c
0
0
1
c
)
(
c
=
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}c&0\\0&{\frac {1}{c}}\end{pmatrix}}\qquad (c=3)}
y
{\displaystyle y}
(
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
![{\displaystyle [T]_{B_{V},B_{W}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51a8a5195d962cd8121da4f69f5393eb167a9eb)
![{\displaystyle [T(v)]_{B_{W}}=[T]_{B_{V},B_{W}}[v]_{B_{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15de7b642079f8bd700e1ba493c67577bc8a6ff1)
![{\displaystyle [-]_{B_{V}},[-]_{B_{W}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f68495449f75db08a4fade7af3701445901fd0)
![{\displaystyle {\begin{matrix}V&{\overset {T}{\to }}&W\\{\scriptstyle [-]_{B_{V}}}\!\downarrow &&\downarrow \!{\scriptstyle [-]_{B_{W}}}\\K^{n}&{\underset {[T]_{B_{V},B_{W}}\cdot }{\to }}&K^{m}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86ad26083b25a5f2421ab42dd56d4dd2d71c1ec)
![{\displaystyle [T(v_{j})]_{B_{W}}=[T]_{B_{V},B_{W}}[v_{j}]_{B_{V}}\qquad (j=1,\ldots ,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d165d7d5d5bbd864e554f42b98b7d128e0b6c8e7)
![{\displaystyle [aT+bU]_{B_{V},B_{W}}=a[T]_{B_{V},B_{W}}+b[U]_{B_{V},B_{W}}\qquad a,b\in K;\;T,U\in \hom(V,W)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae3a91bd916dc7c81fd0b34392f1c2a396b6f44)
![{\displaystyle [UT]_{B_{V},B_{Z}}=[U]_{B_{W},B_{Z}}[T]_{B_{V},B_{W}}\qquad T\in \hom(V,W);\;U\in \hom(W,Z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f15fbd7fb1a43997971638fa76b84cac6a23034)
![{\displaystyle [T^{-1}]_{B_{W},B_{V}}=[T]_{B_{V},B_{W}}^{-1}\qquad T\in \hom(V,W);\;T^{-1}\in \hom(W,V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9978f7c509e7e8f7afafc452f30d6dd6dc5699)
![{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3951fafebd7a0318de0f777409ece8b369cf7a9f)
![{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}=[U_{B_{W},B_{W}'}]_{B_{W}}^{-1}[T]_{B_{V},B_{W}}[U_{B_{V},B_{V}'}]_{B_{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b938a9c1a808c531ff4004fbd7fea5ac86fdafa4)
![{\displaystyle [T]_{B_{V},B_{W}}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88a890c924ba120c217d6cee2bda1927029f40a)
![{\displaystyle [T]_{B_{V}',B_{W}'}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001bef4d027b65e704c10cdf9c44bbd01f0ef62a)
![{\displaystyle [U_{B_{V},B_{V}'}]_{B_{V}}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29207cde42ed3de41c681200ff9a387aa1a40e4)
![{\displaystyle [U_{B_{W},B_{W}'}]_{B_{W}}=Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41baccfd1376c0efadf37f3b01a225c28919cf06)
![{\displaystyle [U_{B,B'}]_{B}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c72a1b598a90222166105d159b531ec09313c71)
![{\displaystyle [T]_{B}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b8a33070f6d6c03b1ceed85d4aa72cad28781c)
![{\displaystyle [T]_{B'}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3924c03cf8958227efe62a1c29394422905a2b0)
![{\displaystyle [T]_{B'}=[U_{B,B'}]_{B}^{-1}[T]_{B}[U_{B,B'}]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca6de0c7c2d7a3be1f282176f75dc1c331e3bf9)
