선형대수학 에서 사영 작용소 (射影作用素, 영어 : projection operator )는 멱등 선형 변환 이다.
V
{\displaystyle V}
벡터 공간 이라고 하자. 선형 변환
P
:
V
→
V
{\displaystyle P\colon V\to V}
P
2
=
P
{\displaystyle P^{2}=P}
사영 작용소 라고 한다.
유한 차원 벡터 공간의 경우, 사영 작용소들은 벡터 공간의 부분 벡터 공간 및 그 여공간의 쌍과 일대일 대응 한다. 임의의 사영 작용소
P
:
V
→
V
{\displaystyle P\colon V\to V}
P
{\displaystyle P}
상 과 핵 의 직합 으로 나타내어진다. 즉,
V
=
P
(
V
)
⊕
ker
P
{\displaystyle V=P(V)\oplus \ker P}
로 분해할 수 있다.
이에 따라, 임의의
a
⊕
b
∈
P
(
V
)
⊕
ker
P
{\displaystyle a\oplus b\in P(V)\oplus \ker P}
P
:
a
⊕
b
↦
a
⊕
0
{\displaystyle P\colon a\oplus b\mapsto a\oplus 0}
이다.
즉,
P
{\displaystyle P}
ker
P
⊂
V
{\displaystyle \ker P\subset V}
P
(
V
)
⊂
V
{\displaystyle P(V)\subset V}
사영 작용소의 고윳값 은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각
dim
ker
P
{\displaystyle \dim \ker P}
dim
P
(
V
)
{\displaystyle \dim P(V)}
사영 작용소
P
{\displaystyle P}
행렬 지수 함수 는
exp
P
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
P
n
=
1
+
(
e
−
1
)
P
{\displaystyle \exp P=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}P^{n}=1+(e-1)P}
이다.
내적 공간
V
{\displaystyle V}
P
:
V
→
V
{\displaystyle P\colon V\to V}
최소 제곱법 을 정의한다. 즉, 임의의
b
∈
V
{\displaystyle b\in V}
P
b
≠
a
∈
P
(
V
)
{\displaystyle Pb\neq a\in P(V)}
‖
b
−
P
b
‖
<
‖
b
−
a
‖
{\displaystyle \Vert b-Pb\Vert <\Vert b-a\Vert }
ker
P
{\displaystyle \ker P}
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
직교 여공간 이다. 즉, 임의의
a
,
b
∈
V
{\displaystyle a,b\in V}
⟨
P
a
,
b
−
P
b
⟩
=
0
{\displaystyle \langle Pa,b-Pb\rangle =0}
자기 수반 작용소 이다.내적 공간
V
{\displaystyle V}
b
∈
V
{\displaystyle b\in V}
W
⊂
V
{\displaystyle W\subset V}
P
b
∈
W
{\displaystyle Pb\in W}
P
b
{\displaystyle Pb}
b
{\displaystyle b}
W
{\displaystyle W}
최적 근사 (最適近似, 영어 : best approximation )라고 한다.
임의의
a
∈
W
{\displaystyle a\in W}
‖
b
−
P
b
‖
≤
‖
b
−
a
‖
{\displaystyle \Vert b-Pb\Vert \leq \Vert b-a\Vert }
b
−
P
b
∈
W
⊥
{\displaystyle b-Pb\in W^{\perp }}
최적 근사는 존재한다면 유일하지만, 일반적으로 존재하지 않는다. 만약
W
{\displaystyle W}
P
:
V
→
V
{\displaystyle P\colon V\to V}
P
{\displaystyle P}
직교 여공간
W
⊥
{\displaystyle W^{\perp }}
b
{\displaystyle b}
W
{\displaystyle W}
P
b
{\displaystyle Pb}
W
{\displaystyle W}
연립 일차 방정식 의 최소 제곱법 은 이에 대한 특수한 경우이다.
