선형대수학 에서 벡터곱 (vector곱, 영어 : vector product ) 또는 가위곱 (영어 : cross product )은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라 인 스칼라곱 과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량 , 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.
두 벡터
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
쐐기곱 과 연관지어
a
∧
b
{\displaystyle \mathbf {a} \land \mathbf {b} }
a
×
b
=
n
^
|
a
|
|
b
|
sin
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }
식에서
θ
{\displaystyle \theta }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
수직 인 단위벡터 를 나타낸다.
위 정의에서의 문제점은
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
−
n
^
{\displaystyle -{\hat {\mathbf {n} }}}
어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간 의 방향 orientation )에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
a
,
b
,
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {a,b,a\times b} }
유사벡터 다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 수도벡터다.)
벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.
벡터곱의 정의 a , b , c ∈ R 3 , α ∈ R 이라 하자.
교환법칙 이 성립하지 않음에 주의하자.스칼라곱에 대한 선형성: (αa )×b = a ×(αb ) = α(a ×b ). 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙 : a ×(b + c ) = a ×b + a ×c 스칼라 삼중곱 :
a
⋅
(
b
×
c
)
=
b
⋅
(
c
×
a
)
=
c
⋅
(
a
×
b
)
=
det
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}
벡터곱의 크기: ||a ×b ||2 = (a ·a )(b ·b )-(a ·b )2 ||a ×b || = ||a || ||b || sin θ 여기서 θ는 a 로부터 b 까지의 각도 이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형 의 면적으로 생각할 수 있다.
야코비 항등식: a ×(b ×c ) + b ×(c ×a ) + c ×(a ×b ) = 0 a ×b ⊥ a 이고 a ×b ⊥ b 이다.a 와 b 가 모두 0벡터가 아닐 때, a ×b = 0 인 것은 a 와 b 가 서로 평행인 것과 동치 이다.유클리드 공간 의 단위벡터 i , j , k 는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
i ×j = k , j ×k = i , k ×i = j 이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
=
[
a
1
,
a
2
,
a
3
]
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}
b
=
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
=
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =[b_{1},b_{2},b_{3}]}
로 표기할 때,
a
×
b
=
[
a
2
b
3
−
a
3
b
2
,
a
3
b
1
−
a
1
b
3
,
a
1
b
2
−
a
2
b
1
]
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}]}
위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식 을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.
a
×
b
=
det
[
i
j
k
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
]
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}}
따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱 과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
det(a ,b ,c ) = a ·(b ×c ). 벡터곱은 또한 사원수 의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i , j , k 에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i , j , k 가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터
[
a
1
,
a
2
,
a
3
]
{\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3}]}
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
{\displaystyle a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k}
분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R 3 에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
레비치비타 기호
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon ^{ijk}}
[ 편집 ] 여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법 의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계 의 성분 을 의미한다.
3차원 유클리드 공간
R
3
{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
직교좌표계 의 성분으로 표현된 두 벡터
w
a
=
(
w
1
,
w
2
,
w
3
)
{\displaystyle w^{\mathbf {a} }=(w^{1},w^{2},w^{3})}
v
a
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
{\displaystyle v^{\mathbf {a} }=(v^{1},v^{2},v^{3})}
w
a
⊗
v
b
=
w
a
v
b
{\displaystyle w^{\mathbf {a} }\otimes v^{\mathbf {b} }=w^{\mathbf {a} }v^{\mathbf {b} }}
여기서, 외적에 호지 쌍대 를 취하면 벡터곱 이 된다.
(
w
c
×
v
d
)
a
=
[
∗
(
w
c
v
d
)
]
a
=
g
a
b
ϵ
b
c
d
v
c
w
d
{\displaystyle (w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}
성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우,
g
a
b
=
δ
a
b
{\displaystyle g^{\mathbf {ab} }=\delta ^{\mathbf {ab} }}
계량 의 성분은 크로네커 델타 .) 이를 간단히 전개해보면,
g
a
b
ϵ
b
c
d
v
c
w
d
=
δ
a
b
ϵ
b
c
d
v
c
w
d
=
δ
a
b
(
ϵ
123
e
b
1
∧
e
c
2
∧
e
d
3
)
v
c
w
d
{\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }&=\delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\\&=\delta ^{\mathbf {ab} }\left(\epsilon _{123}e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}\right)v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\end{aligned}}}
여기서
e
b
1
∧
e
c
2
∧
e
d
3
{\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}}
e
b
1
∧
e
c
2
∧
e
d
3
=
e
b
1
e
c
2
e
d
3
+
e
c
1
e
d
2
e
b
3
+
e
d
1
e
b
2
e
c
3
−
e
d
1
e
c
2
e
b
3
−
e
b
1
e
d
2
e
c
3
−
e
c
1
e
b
2
e
d
3
{\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}=e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}+e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}+e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}-e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}}
이다. 그리고 여기에
v
c
w
d
{\displaystyle v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}
(
e
b
1
∧
e
c
2
∧
e
d
3
)
v
c
w
d
=
e
b
1
(
v
2
w
3
−
v
3
w
2
)
+
e
b
2
(
v
3
w
1
−
v
1
w
3
)
+
e
b
3
(
v
1
w
2
−
v
2
w
1
)
{\displaystyle (e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3})v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{\mathbf {b} }^{1}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{\mathbf {b} }^{2}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{\mathbf {b} }^{3}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})}
되고 마지막으로
δ
a
b
ϵ
123
{\displaystyle \delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{123}}
g
a
b
ϵ
b
c
d
v
c
w
d
=
e
1
b
(
v
2
w
3
−
v
3
w
2
)
+
e
2
b
(
v
3
w
1
−
v
1
w
3
)
+
e
3
b
(
v
1
w
2
−
v
2
w
1
)
{\displaystyle g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{1}^{\mathbf {b} }(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{2}^{\mathbf {b} }(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{3}^{\mathbf {b} }(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})}
이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.
벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×) 의 정의에 등장하고, 자기장 에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘 의 공식에 등장하며, 돌림힘 과 각운동량 의 정의에도 나온다.
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수 의 방법을 팔원수 에 적용하여 얻어질 수 있다.
7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.
다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다. x ×(a y + b z ) = a x × y + b x × z and (a y + b z ) × x = a y × x + b z × x x ×y + y ×x = 0x ·(x ×y ) = y ·(x ×y ) = 0x ×(y ×z ) + y ×(z ×x ) + z ×(x ×y ) = 0 ||x ×y ||2 = ||x ||2 ||y ||2 -(x ·y )2
![{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3191d150b3a1e0e6e7646f94850a3938809b8f8b)
![{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =[b_{1},b_{2},b_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12e6f1f39201336e356d9051ce4c6f0053c2615)
![{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a457e231369c6e9179e5e0058f5d3f2b10e3156a)
![{\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb297e8570962c60e891e710daefe2cb5af7195)
![{\displaystyle (w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716efa85999b6b70423b8c0b416d75293f97a64b)
