삼각형

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삼각형
변과 각의 수	3
내각의 합	180°

삼각형
삼각형
모서리들과 꼭짓점	3
슐레플리 기호	{3} (정삼각형의 경우)
면적	다양한 방법이 존재; #넓이
내각 (도)	60° (정삼각형의 경우)

삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

종류

삼각형의 종류

일반적인 삼각형 이등변삼각형 직각삼각형 직각이등변삼각형 정삼각형 둔각삼각형 예각삼각형

넓이

밑변의 길이와 높이를 알 때

밑변의 길이가 $a$이고, 높이가 $h_{a}$인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

$S={\frac {ah_{a}}{2}}$

삼각함수 공식

세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, $k={\frac {a+b+c}{2}}$ 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)

$S={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}$

두 변과 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}$

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}$

세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 내접원의 반지름이 $r$이며, $s={\frac {a+b+c}{2}}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$\ S=rs$

세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 외접원의 반지름이 $R$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S={\frac {abc}{4R}}$

세 변의 길이와 방접원의 반지름 중 하나의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$이며, $s={\frac {a+b+c}{2}}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$\ S=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$

세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$이고, 내접원의 반지름이 $r$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)$

세 각의 크기와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$이고, 외접원의 반지름이 $R$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C$

내접원과 모든 방접원의 반지름의 길이를 알 때

내접원의 반지름이 $r$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}$

2차원 직교좌표

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x₁,y₁),(x₂,y₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}$

2차원 극좌표

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r₁,θ₁),(r₂,θ₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S={\frac {|r_{1}\cos \theta _{1}r_{2}\sin \theta _{2}-r_{2}\cos \theta _{2}r_{1}\sin \theta _{1}|}{2}}={\frac {r_{1}r_{2}\sin(|\theta _{1}-\theta _{2}|)}{2}}$

n차원 좌표 공간

한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 ${\vec {X}},{\vec {Y}}$ 라 하자. 2보다 크거나 같은 n차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 $S_{n}$라 하면

$S_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}$

이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 ${\vec {X}}=(x_{1}\,,x_{2}\,,x_{3}\,,...\,,x_{n}),\ {\vec {Y}}=(y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,...\,,y_{n})$ 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

$S_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}$

벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서 $n=2$ 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.

정삼각형

한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

성질

유클리드 기하학

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

• 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
• 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
• 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
• 중점연결정리
• 피타고라스의 정리
• 사인 법칙
• 코사인 법칙
• 체바 정리/메넬라오스 정리

비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.

삼각형의 합동 조건

삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.

• SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
• SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
• ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
• AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

• RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
• RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.

같이 보기

• 삼각형의 오심
• 역삼각형
• 삼각법