Dreieck

allgemeines Dreieck

A Dreieck (friara haums a Triangel gsogt, vom lateinischn triangulum, des is owa scho aa Wäu hea) is a Polygon und a geometrische Figur. Innahoib von da euklidischen Geometrie is des de aafochste Figua in aana Ebene, de von grode Linien begrenzt wiad. De Linien haaßt ma Seiten. Drin im Dreieck gibz drei Wingln, de haaßn „Innenwingln“. De Scheitl von de Wingl san de Eckpunkt vo dem Dreieck.

In da Trigonometrie, des is a Täugebiet von da Mathematik, spüün Dreiecke a gaunz a wichtige Roin. Mea dazua kaunst bei da Dreiecksgeometrie lesn.

Eintäulung

noch de Seitn:

• haum olle drei Seitn de sööbe Leng, isses a gleichseitades Dreieck und bei zwaa gleiche isses gleichschenklat. Ois aundare haaßt ma unregelmäßig.

gez noch de Wingln, do nimmt ma ollawäu in greßtn hea:

• issa klaana ois wia 90^o, is des a spitzwinklates Dreieck, sans genau 90^o, güüz äus rechtwinklates Dreieck, und waunna greßa is, haaßt mas stumpfwinklates Dreieck.

Spitz- und stumpfwinklate Dreieck wean aa untan Nauman schiefwinkliges Dreieck zsammengfosst.

Des oigmeine (beliebige) Dreieck

Definiziaun und Eignschoftn

Dreieck mit seinen Ecken, Seiten und Winkeln sowie Umkreis, Inkreis und Teil eines Ankreises

De Summan vo de Innanwingl in aan ebanan Dreieck is imma 180°.

A Dreieck wiad mid drei Punkt definiat, de natialich ned auf aana Grodn liegn diafn. Des san de Ecken vo dem Dreieck. De Vabindungan vo aan Eck zum aundan haaßn Seiten. Min Dreieck wiad de Ebane in zwaa Bereich täut, des aane is des Äußare, des aundare des Innare vom Dreieck. De von de zsammtreffatn Seitn büütn Wingln saan wichtige Greßn zum Charaktarisian von dem Dreieck.

Iwlichaweis wean de Eckn gengan Uahzaaga mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. De Seitn, de aana Eckn wisawie liegt, nennd ma wia de Eckn, owa klaa gschrim $a$, $b$ bzw. $c$. Oft wean aa de Seitn noch de Eckn gnennt, des vabindn, äussa $BC$, $CA$ oder $AB$. De Wingln wiada haaßn $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$; $\alpha$ is do zum Beispüü da Wingl an da Eckn $A$.

• Waun ma de Innanwingl vo aan ebanan Dreieck zsammzööht, kumman imma 180° auße.
• De Summan von de Außnwingl is 360°, waunnst fia a jeds Eck nua aan Außnwingl heanimmst. Zööhst olle Außnwingl zsamm, kummt natialich des Doppete ausse, äussa 720°.
• De Läng vo zwaa Seitn is imma greßa ois wia de dritte Seitn.

Bsundare Kraas, Grode und Punkt von aan Dreieck

A jeds Dreieck hod aan Umkreis, des is a Kraas, des wos duach olle drei Eckn geht. Den Middlpunkt kriagt ma ausse, waun ma in da Middn von jeda Seitn a Senkrechte mocht und schaut, wo sie de drei kreizn,

Konstruiat ma zu aan jedn Innanwingl de Winglhalbiarate, schnein si de drei aa in a Punkt. Des is da Middpunkt vom Inkreis. Des is a Kraas, dea wos olle drei Seitn beriat.

Daunn gibz aa no Ankraas, des san Kraas, de wos jede Seitn berian und aa de Valengarung vo de Seitn noch aussn.

Den Schweapunkt kriagt ma, waunn man jede Seitn halbiat und von do a Linie zum Eck wiesawie ziagt. De drei schnein si genau im Schweapunkt.

Mit de Hechn, des san von an jedn Eck de Senkrechtn auf de Linie gengiwa, kaunn ma de Flechn von dem Dreieck ausrechnan.

Feuerbachkraas

Gaunz wos Speziöös is da Feuerbachkraas ("Karl Wilhelm Feuerbach" hod im 19.Joahundat a Mathematik-Kapazunda ghaaßn). De geht duach olle drei Seitnmiddlpunkt, durch de drei Fuaßpunkt von de Hechn und aa no duach de drei Middlpunkt von de owan Hechnobschnitt. De Middlpunkt von dem Kraas liegt genauso ois wia da Schweapunkt, da Umkraasmiddlpunkt und da Hechnschittpunkt auf aana Grodn, de wos Eulersche Grode haaßt.

In dem Büüdl rechts san D, E und F de Seitnmiddlpunkt, G, H und I de Hechnfuaßpunkt, J, K und L de Middlpunkt von de owan Hechnonschnitt und S is da Hechnschnittpunkt.

Litaratua

•  Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 71-91, 108-135, 143-197.
•  Joseph von Radowitz: Die Formeln der Geometrie und Trigonometrie. Ferdinand Dümmler, Berlin 1827 (Eingeschränkte Vorschau in da Google Buachsuach).

Im Netz

 Commons: Triangles – Sammlung vo Buidl, Videos und Audiodateien

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• Eric W. Weisstein: Triangle. In: MathWorld. (englisch)