非圧縮性流れ

非圧縮性流れ（ひあっしゅくせいながれ、英: incompressible flow）または非圧縮の流れとは、流体力学において、流動による密度変化が起きない流れ場である。狭義には密度一定の流れ場を指す。縮まない流体とも呼ばれる^[1]^[2]。連続体力学における非圧縮性の概念を流体に適用したものである。

言い換えると、非圧縮とは速度の発散なしのこと（この表現が等価である理由は後述）。流体分野において「ダイバージェンス・フリー」といえば、この速度場発散なしのことを指す。

流体力学における非圧縮性とは、流れ場、とくに速度場の性状を示す語であり流体の物性のことではない。油圧機構などの分野で水や油といった作動流体についていう非圧縮性とは異なる。

非圧縮（性）流れに対して、流動による密度変化が顕著な流れを圧縮性流れという。マッハ数（局所音速と流速との比）が1よりはるかに小さい流れは非圧縮とみなして扱われる。マッハ数が概ね0.3を超えるか、または流体が非常に大きな圧力変化を受ける場合に、圧縮性の影響は考慮される。気体は容器に閉じ込めることで圧縮できるが、低マッハ数であれば非圧縮流れとして扱われる。逆に液体は容器に入れて圧縮することは難しいが、マッハ数が大きければ圧縮性流れとして扱われる。

厳密にいうと完全な非圧縮流れは自然界には存在しないため非圧縮流れとは一種の近似モデルである。

速度の発散が0になることの導出

非圧縮性流れのための基本的な要件は、密度 $ρ$ が、速度 $v$ で移動する流体の微小体積 $d V$ 内で一定であることである。数学的にはこの非圧縮性流れの条件は、密度の物質微分（後述）が0にならなければならないことを意味する。この条件を導入する前に、質量保存則から必要な関係式を導く。ある領域（コントロールボリューム） $V$ の中にある流体の質量 $m$ は、密度 $ρ$ の体積積分によって算出される。

m=\iiint _{V}\rho \,dV

質量保存則より、コントロールボリューム $V$ 内の質量の時間変化はその境界面 $S$ を通る質量流束 $J$ に等しくなければならない。この質量流速は数学的には面積分で表される。

{\frac {\partial m}{\partial t}}=-\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\boldsymbol {J}}\cdot d{\boldsymbol {S}}

ここで負号は、面積ベクトル $d S$ を外向きに定義していることより、コントロールボリュームから出る流れによってボリューム内の質量は時間的に減少することを意味する。この式の右辺に発散定理を用い、質量流束と密度の時間変化の間の関係が導かれる。

{\begin{aligned}&\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dV=-\iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\,dV\\&\therefore \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\end{aligned}}

左辺の密度の時間微分は非圧縮性流れを保証するためには0になる必要はない。この場合の密度の時間微分とは、固定位置のコントロールボリューム内でのこの変化率のことを言っている。密度の時間微分が0にならないことを許しても、非圧縮性流体は制限されない。なぜなら固定位置のコントロールボリュームを観察していれば、流れによってそこの密度は変化することが許されているからである。このアプローチは一般的に言え、密度の時間微分が0になってもよいことは、圧縮性流体が依然として非圧縮性流れになりうることを示している。

我々が興味を持っていることは、流体速度 $v$ とともに移動するコントロールボリュームの密度の変化である。流束 $J$ は、次の式で流体速度 $v$ と関連している：

{\boldsymbol {J}}=\rho {\boldsymbol {v}}

したがって質量保存則は

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}+\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=0

と表される。この式は連続の式と呼ばれている。密度の全微分を考える（そして連鎖律を適用する）ことにより、

{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}

であるから、流体と同じ速度で動いている（すなわち $v = (d x /d t, d y /d t, d z /d t)$ となる）コントロールボリュームをとれば、上式は物質微分：

{\frac {D\rho }{Dt}}:={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}

を用いて簡潔に表される。連続の式に代入すれば、

{\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})

を得る。密度の時間微分は、流体が圧縮または膨張（一定体積 $d V$ に含まれる質量が変化）することを示しているが、それは禁止されている。密度の物質微分が0になることを要求することは、（密度が0でなければ）流体速度の発散が0でなければならないことと等価である。

\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}=0

結局、質量保存則と、流体とともに移動する体積内の密度が一定であるという制約条件から、それに等価な非圧縮性流れの必要条件は流体速度の発散が0になることであることが示された。

圧縮率

流れに関わる周辺分野では、流体の非圧縮性の尺度に圧力変化と密度変化の比が用いられる。これは圧縮率 $β$ と呼ばれる。

\beta :={\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dp}}

圧縮率0を非圧縮性流体の定義とすることがある^[1]。

ソレノイド場との関係

非圧縮性流れの速度場はソレノイドベクトル場（英語版）である。ソレノイド場とは発散ゼロ（回転はあってもよい）場である。

一方で非圧縮かつ回転ゼロの速度場はラプラス場（英語版）と呼ばれる。