連接環

連接環（れんせつかん、英: coherent ring、仏: anneau cohérent）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

連接環

定義

• $R$ を環とし $M$ を $R$-加群とする。次が完全列になるような自由加群 $L_{1}$ と $L_{0}$ が存在する

$L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

これは $M$ の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 $M$ は $L_{0}$ が有限型であれば有限型 (type fini) であり、$L_{0}$ と $L_{1}$ が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。

• $R$-加群 $M$ は有限型でありかつ $M$ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

• 環 $R$ は有限型の $R$ のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。

• 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

性質

$R$ を環とする。

• $M$ を左 $R$-加群とする。以下の条件は同値である：

1. $M$ は左連接である。
2. $M$ は有限型でありすべての整数 $n\geq 0$ に対して左 $R$-加群のすべての準同型 $R^{n}\longrightarrow M$ の核は有限型である。
3. $M$ は有限型でありすべての有限型左 $R$-加群 $N$ に対してすべての準同型 $f:N\rightarrow M$ に対して $\ker(f)$ は有限型である。

• さらに、以下の条件は同値である：

1. $R$ は左連接である。
2. 有限型左自由 $R$-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
3. すべての有限表示左 $R$-加群は連接である。
4. すべての整数 $n$ に対して左 $R$-加群のすべての準同型 $R^{n}\longrightarrow R$ の核は有限型である。

• 左ネーター環は左連接である。

連接シルヴェスター環

• $R$ をオール環とする。この環が右連接シルヴェスター環であるのは、$R$ に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。

• 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

• 可換シルヴェスター環 $R$ が連接であるのは $R$ がGCD環であるとき、かつそのときに限る。

• $D$ を複素平面の単連結開集合とする。$D$ 内の有界解析関数のハーディ環 $H^{\infty }\left(D\right)$ はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

グロタンディーク圏における一般化

グロタンディーク圏

次のようなアーベル圏 ${\mathfrak {C}}$ をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 $\left(G_{i}\right)_{i\in I}$ を持ち、次の条件 AB5) を満たす： $A$ が ${\mathfrak {C}}$ の対象であり $A'$ が $A$ の部分対象でありそして $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ が $A$ の部分対象の増大フィルター族であれば、

$\bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right).$

例

• 環 $R$ 上の左加群の圏 $_{R}Mod$ は生成元として加群 $_{R}R$ を持つグロタンディーク圏である。

• $X$ を位相空間、${\mathcal {O}}_{X}$ を $X$ 上の環の層、$_{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod}$ を $X$ 上の左 ${\mathcal {O}}_{X}$-加群の層の圏とする。この圏 $_{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod}$ はグロタンディーク圏である。$_{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod}$ における生成元の族は faisceaux induits $\left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U$ からなる、ただし $U$ は $X$ の開集合全部の集合を表記する。

連接対象

• ${\mathfrak {C}}$ をグロタンディーク圏とする。${\mathfrak {C}}$ の対象 $A$ は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。$\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A$ なる $A$ の増大フィルターのすべての族 $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ に対して、$A_{i}=A$ となる添え字 $j$ が存在する。${\mathfrak {C}}$ の対象 $A$ は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 $f:B\rightarrow A$、ただし $B$ は有限型、に対して $\ker(f)$ は有限型である。

• ${\mathfrak {C}}$ を生成元として対象 $G$ を持つグロタンディーク圏とし

$0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0$

を ${\mathfrak {C}}$ における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 $A$ が有限型であるのは、完全列

$\coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0$

ただし $J\subset I$ は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、$A$ が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 $\coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A$、ただし $J\subset I$ は有限、に対して完全列

$\coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0$

ただし $K\subset I$ は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる ${\mathfrak {C}}$ の充満部分圏は、$Coh{\mathfrak {C}}$ と表記されるが、アーベルであり、入射 $Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}$ は完全である。

例

• 圏 $_{R}Mod$ において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

• 圏 $_{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod}$ において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）${\mathcal {O}}_{X}$-加群全体である。

環の連接層

• 環 ${\mathcal {O}}_{X}$ の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 $U\subset X$ と左 $\left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U$-加群のすべての準同型写像 $\left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U$ に対して、この準同型の核は有限型である。

• すると以下の結果が成り立つ： ${\mathcal {O}}_{X}$ を左連接環の層とする。左 ${\mathcal {O}}_{X}$-加群の層 ${\mathcal {F}}$ が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 ${\mathcal {O}}_{X}$-加群の準同型 ${\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}$ の余核に同型である、すなわち、$X$ のすべての空でない開集合 $U$ に対して完全列

$\left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0$

が存在する。

脚注と参考文献

参考文献

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