Քվատերնիոններ

Քվատերնիոնները կոմպլեքս թվերի ընդհանրացում են։ Նրանք ասոցատիվ, ոչ-կոմուտատիվ *-հանրահաշիվների օրինակ են։ Որպես գծային տարածություն նրանք համարժեք են $\mathbb {R} ^{4}$ քառաչափ գծային տարածությանը։ Նրանց առաջին անգամ սահմանել և նկարագրել է իրլանդացի մաթեմատիկոս Վիլյամ Ռոուեն Համիլտոն-ը 1843 թվին։

Պատմություն

1835 թ-ին 30 տարեկանում Համիլտոնը գիտակցեց, որ կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել որպես իրական թվերի մի զույգ՝ (x,y)։ Ոգևորված $\mathbb {C}$-ի և երկչափ երկրաչափության կապով նա փորձում էր եռաչափ տարածությունը նկարագրող մի ավելի մեծ հանրահաշիվ կառուցել։

Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակը

Հետագայում նա գրում էր իր որդուն. «Վերը նշված ամսվա ամեն առավոտյան, երբ ես իջնում էի նախաճաշելու, քո կրտսեր եղբայրը` Վիլյամ Էդվինն ու դու ինձ հարցնում էիք. ՛Հայրիկ, դու սովորե՞լ ես բազմապատկել տրիպլետները։՛ Դրան ես ստիպված էի գլուխս տխուր թափահարելով պատասխանել. ՛Ոչ, ես դրանք միայն գումարել և հանել եմ կարողանում։՛»

Վերջապես, 1843 թ-ի հոկտեմբերի 16-ին, կնոջ հետ Դուբլինում Թագավորական Ջրանցք-ի կողքով դեպի Իրլանդական Թագավորական Ակադեմիայում հանդիպման քայլելիս նա կատարեց իր հայտնագործությունը։ «Կարելի է ասել, ես զգացի, որ մտքերիս գալվանական շղթան փակվեց. և այդ փակումից աջառացած կայծերը i,j և k-ի միջև ֆունդամենտալ հավասարումներն էին»։ Եվ մաթեմատիկական վանդալիզմի հայտնի ակտում Համիլտոնը Բրուգհեմի կամրջի քարի վրա փորագրում է հայտնի հավասարումները՝

$$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\qquad (1)$$

Սահմանում

Քվատերնիոն կանվանենք

$$q=t+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z,\quad \mathbf {x,y,z,t} \in \mathbb {R} ,$$

տեսքի կամայական տարր, որտեղ $(1,\mathbf {i,j,k} )$ բազիսային էլէեմենտները ասոցատիվ են և բավարարում են (1) առնչություններին։ Քվատերնիոնային հանրահաշիվն օժտված է նաև *-գործողությամբ, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

$$q^{*}=t-\mathbf {i} x-\mathbf {j} y-\mathbf {k} z:\qquad (2)$$

Հեշտ է ստուգել (հաշվի առնելով (1) և (2) սահմանումները), որ $(\mathbf {q} _{1}\mathbf {q} _{2})^{*}=\mathbf {q} _{2}^{*}\mathbf {q} _{1}^{*}:$

Հատկություններ

Արտադրյալ

Ձախից և աջից (1) առնչությունները բազմապատկելով $\mathbf {i,j,k}$-ով կստանանք համարժեք առնչություններ՝ $$\mathbf {ij} =\mathbf {k} ,\mathbf {ki} =\mathbf {j}$$ և ցիկլիլ տեղափոխություններ։ Այս առնչությունները կարելի է ընդհանրացնել մեկ դիագրամում՝

Ժամսլաքի ուղղությամբ շարժվելիս, կամայական երկու էլեմենտների արտադրյալը հավասար է երրորդին։ Ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս, արտադրյալը ձեռք է բերում «-» նշանը։

Նորմ

Քվատերնիոնային նորմը սահմանվում հետևյալ կերպով՝ $$\left\Vert \mathbf {q} \right\|={\sqrt {\mathbf {qq} *}}={\sqrt {t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$

Հեշտ է ստուգել, որ քվատերնիոնները նորմավորված հանրահաշիվ են՝ $$\left\Vert \mathbf {q} _{1}\mathbf {q} _{2}\right\|=\left\Vert \mathbf {q} _{1}\right\|\left\Vert \mathbf {q} _{2}\right\|$$

Թենզորային ներկայացում

Նշանակենք $\mathbf {e} _{1}=\mathbf {i} ,\mathbf {e} _{2}=\mathbf {j} ,\mathbf {e} _{3}=\mathbf {k}$: Այս նշանակման միջոցով քվատերնիոնների արտադրյալը կարելի է գրել ավելի կոմպակտ տեսքով՝ $$\mathbf {e} _{a}\mathbf {e} _{b}=-\delta _{ab}+\sum \limits _{c=1}^{3}\varepsilon _{abc}\mathbf {e} _{c},\qquad a,b,c=1,2,3,\qquad (3)$$ որտեղ $\delta _{ab}$ -ն Քրոնեկերի սիմվոլն է, իսկ $\varepsilon _{abc}$-ն՝ բացարձակ անտիսիմետրիկ թենզորը։

Քլիֆորդի հանրհահաշիվ

Հաշվի առնելով (3) առնչությունը կարող ենք գրել՝

$$\mathbf {e} _{a}\mathbf {e} _{b}+\mathbf {e} _{b}\mathbf {e} _{a}\equiv \left\{\mathbf {e} _{a}\mathbf {e} _{b}\right\}=-2\delta _{ab}$$

Այս առնչությունները սահմանում են $\operatorname {Cliff} (2)$ Քլիֆորդի հանրահաշիվը։ Այսպիսով, հեշտ է տեսնել, որ $\mathbb {H} =\operatorname {Cliff} (2)$: