Estatística de Bose-Einstein

A estatística de Bose-Einstein é un tipo de mecánica estatística aplicable á determinación das propiedades estatísticas de grandes conxuntos de partículas indistinguibles capaces de coexistir no mesmo estado cuántico (bosóns) en equilibrio térmico. A baixas temperaturas, os bosóns tenden a ter un comportamento cuántico similar que pode chegar a ser idéntico a temperaturas próximas ao cero absoluto nun estado da materia coñecido como condensado de Bose-Einstein, producido por primeira vez en laboratorio no ano 1995. O condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas próximas do cero absoluto, -273,16 °C (0 Kelvin).

A estatística de Bose-Einstein foi introducida para estudar as propiedades estatísticas dos fotóns en 1920 polo físico hindú Satyendra Nath Bose e xeneralizada para átomos e outros bosóns por Albert Einstein en 1924. Este tipo de estatística está intimamente relacionada coa estatística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente para gases) e as estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadas fermións sobre as que rexe o principio de exclusión de Pauli que impide que dous fermións compartan o mesmo estado cuántico).

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estatística de Maxwell-Boltzmann para enerxías suficientemente elevadas.

Formulación matemática

O número de partículas nun estado de enerxía i é:

$n_{i}\left(\varepsilon _{i}{\text{, }}T\right)={\frac {g_{i}}{e^{{\left(\varepsilon _{i}-\mu \right)}/{k_{B}T}\;}-1}}$

onde:

$n_{i}\,$ é o número de partículas nun estado i.

$g_{i}\,$ é a dexeneración cuántica do estado i ou número de funcións de onda diferentes que posúen dita enerxía.

$\epsilon _{i}\,$ é a enerxía do estado i.

$\mu \,$ é o potencial químico.

$k_{B}\,$ é a constante de Boltzmann.

$T\,$ é a temperatura.

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estadística de Maxwell-Boltzmann para enerxías: $(\epsilon _{i}-\mu )>>kT$

Derivación

Dado que os sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, os estados cuxa única diferenza é a permutación de estados de dúas partículas son idénticos. Deste xeito, un estado do sistema estará univocamente definido polo número de partículas que se encontren nun determinado estado enerxético. Denotarase por $\epsilon _{r}$ o estado enerxético r-ésimo, por $n_{r}$ o número de partículas no estado r-ésimo e R cada unha das posibles combinacións de números de ocupación. A función de partición resulta:

${\mathcal {Z}}=\sum _{l}e^{-\beta (E_{l}-\mu n_{l})}=\sum _{R}e^{-\beta \sum _{r}(\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}=\sum _{R}\prod _{r}e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}$

A anterior expresión contén todas as combinacións posibles de $n_{r}$ entre 0 e $\infty$ (posto que nun sistema bosónico o número de partículas por estado cuántico non está limitado) de forma que pode ser reescrita do seguinte xeito:

${\mathcal {Z}}=\prod _{r}\sum _{n_{r}=0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}=\prod _{r}{\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}$

Aplicando que:

$\Phi =k_{B}Tln{\mathcal {Z}}\quad y\quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N$

Tense que:

$\Phi =k_{B}Tln{\mathcal {Z}}=-k_{B}T\sum _{r}ln(1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )})\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N=-\sum _{r}n_{r}=-\sum _{r}{\frac {e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}$

De modo que:

$n_{r}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{r}-\mu )}-1}}$

Debido a que poden existir diferentes estados cuánticos cunha mesma enerxía, o número de partículas cunha determinada enerxía virá dado por:

$n_{\epsilon }={\frac {g_{\epsilon }}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}$

sendo $g_{E}$ a dexeneración de tal enerxía.

Na anterior expresión obsérvase que o potencial químico será menor que todas as enerxías, do contrario o número medio de partículas nun estado podería ser negativo.

Aplicacións

• A distribución de enerxía da radiación do corpo negro dedúcese da aplicación da estatística de Bose-Einstein aos fotóns que compoñen a radiación electromagnética.
• A capacidade calorífica dos sólidos tanto a altas como a baixas temperaturas pode ser deducida a partir da estatística de Bose-Einstein aplicada aos fonóns, cuasipartículas que dan conta das excitacións da rede cristalina. En particular a lei de Dulong-Petit pode ser deducida da estatística de Bose-Einstein.