Konveksi funktio

Reaaliarvoinen funktio voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin tai ei kumpikaan. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi $x^{2}$.

Määritelmä

Funktio on konveksi, jos janan pisteiden $tx_{1}+(1-t)x_{2}$ arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Olkoon $A$ reaalilukujen osajoukko ja $f:A\to \mathbb {R}$ funktio.

Funktio $f$ on konveksi, jos

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$,

kaikille $x,y\in A$ ja $t\in [0,1]$.

Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden $(x,f(x))$ ja $(y,f(y))$ kautta kulkevan suoran arvo $x$:n ja $y$:n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.

Ominaisuuksia

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
2. Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
3. Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
4. Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
5. Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä $[a,b]$ jos ja vain jos $f''(x)\geq 0$ välillä $[a,b]$.

Konkaavi funktio

Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio $f$ on konkaavi, jos

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$.

Toisin sanoen funktio $f$ on konkaavi, jos funktio $-f$ on konveksi.