میانگین

برای دیگر کاربردها، میانگین (ابهام‌زدایی) را ببینید.

نمودار ثابت میانگین با شیب ۰ از مجموع میانگین چندین نقطه

چندین گونه برای میانگین (به انگلیسی: Mean) در ریاضیات و به‌ویژه در آمار وجود دارد. در مطالعه توزیع یک جامعه آماری مقدار نماینده که اندازه‌ها در اطراف آن توزیع شده‌اند را مقدار مرکزی می‌نامند و هر معیار عددی را که معرف مرکز مجموعه داده‌ها باشد، معیار گرایش به مرکز می‌نامند. میانگین و میانه از متداول‌ترین معیارهای گرایش به مرکز هستند.

انواع

میانگین در ریاضیات و آمار کاربرد متفاوت دارد، که شامل

• میانگین حسابی، میانگین حسابی $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:
  • ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$
  • مثال: میانگین حسابی $4,36,45,50,75$ برابر است با ${\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42$

- خواص ميانگين حسابي :

١ – مجموع انحرافات از ميانگين همواره برابر صفر است .                                                               

۲ – زمانيکه تعداد داده ها و ميانگين را داشته باشيم مجموع داده ها را مي توان بدست آورد .        

3 – ميانگين حسابي داده هاي برابر خود مقدار صفت است. مثلا اگر داشته باشيم ۴ ،  ۴ ، ۴ ،  ۴ ،  ۴ ميانگين حسابی مي شود ۴      

4– اگر داده هاي آماري با عددي مثل a  جمع (تفريق) يا در عددي مثل a ضرب (تقسيم) بشود  ميانگين هم با a جمع (تفريق) يا در a ضرب (تقسيم) مي شود                                                                        

5 – مجموع مربعات انحرافات مقادير صفت از ميانگين کوچکتر و مساوي مجموع مربعات انحرافات مقادير صفت از هر عددي مثل a است .

میانگین هندسی، میانگین هندسی $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:

• • ${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}$
  • مثال: میانگین هندسی $4,36,45,50,75$ برابر است با $(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30$
  • - خواص ميانگين هندسي : ۱ – اگر داده هاي آماري درعددي مثل a ضرب شود ميانگين هندسي هم در a  ضرب مي شود. 2- ميانگين هندسي داده های برابر خود مقدار صفت است. مثلا اگر داشته باشيم 5,5,5, 5 ,5و5 ميانگين هندسی 5 مي شود.
• میانگین هارمونیک، میانگین هارمونیک $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:
  • ${\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$
  • مثال میانگین هارمونیک $4,36,45,50,75$ برابر است با ${\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15$
  • - خواص  ميانگين هارمونيک : ۱ – اگر داده هاي آماري با هم برابر باشد ميانگين هارمونيک خود مقدار صفت است . مثلا اگر داشته باشيم ۴ ، ۴ ، ۴ ، ۴ ، ۴ ميانگين هارمونیک آن  ۴ مي شود . ۲ – اگر داده ها در عددي مثل a ضرب شود ميانگين هارمونیک هم در a ضرب مي شود . نکته : از ميانگين هارمونيک زماني استفاده مي کنيم که عناصر بیانگر نسبت مشخصی باشند، مثل سرعت که نسبت مسافت بر زمان مي باشد . يا مثل قيمت که نسبت پول بر کالاست.اگر متحرکی فواصل مختلفی را با سرعت های متفاوت طی کند باز هم ميانگين هارمونيک بیانگر متوسط زمان کل مسیر است. اگر واحد صورت ثابت و واحد مخرج متغییر باشد میانگین مناسب هارمونیک است و اگر واحد صورت متغییر و واحد مخرج ثابت باشد میانگین مناسب حسابی است .  
• و در آمار به امید ریاضی که یک متغیر تصادفی است و همچنین میانگین جامعه آماری نامیده می‌شود.

میانگین‌های دیگری نیز در دانش‌های گوناگون کاربرد دارند که از میان شناخته‌شده‌ترین آن‌ها می‌توان میانگین وزنی را نام برد.

مقایسه میانگین، میانه و مد

همچنین ببینید: مد (آمار) و میانه (آمار)

مقایسه مشترک متوسط ریاضی در مجموعه { ۱, ۲, ۲, ۳, ۴, ۷, ۹ }

نوع	توضیح	مثال	نتیجه
میانگین حسابی	جمع ارزش یک مجموعه داده تقسیم بر تعداد ارزش‌ها: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	۷ / (۱+۲+۲+۳+۴+۷+۹)	۴
میانه (آمار)	ارزش عددی واقع شده در وسط یک مجموعه داده پس از حذف بزرگترین و کوچکترین داده از مجموعه	۱, ۲, ۲, ۳, ۴, ۷, ۹	۳
مد	پر تکرارترین ارزش در یک مجموعه داده	۱, ۲, ۲, ۳, ۴, ۷, ۹	۲

جستارهای وابسته

• نمونه (آمار)
• میانه (آمار)