Cymedr

Diagramau geometrig o fodd, canolrif a chymedr, o ffwythiant dwysedd dychmygol.

Mesur o gyfartaledd neu ganolduedd yw cymedr, sef cyfanswm mewn set o ddata, neu grwp wedi'r rannu gyda'r nifer yn y grŵp. Weithiau, caiff ei alw'n "ddisgwyliad mathemategol".

Dynodir cymedr rhifyddol ar gyfer set o ddata x1, x2, ..., xn gan ${\bar {x}}$, a yngenir fel "x bar". Os yw'r set data'n cyfeirio at boblogaeth ystadegol, yna, y cymedr rhifyddol yw cymedr y sampl (a ddynodir gan ${\bar {x}}$) er mwyn ei wahaniaethu o ddi wrth y dosbarthiad gwaelodol, sef cymedr y boblogaeth (a ddynodir $\mu$ neu $\mu _{x}$).

Mewn tebygolrwydd ac ystadegau, mae 'cymedr y boblogaeth' yn golygu gwerth a ddisgwylir, ac yn fesur o'r duedd ganolog naill ai o ddosbarthiad tebygolrwydd (probability distribution) neu o'r newidyn hap a nodweddir gan y dosbarthiad hwnnw. Yn achos dosbarthiad tebygolrwydd arwahanol o newidyn hap (random variable) X, mae'r cymedr yn hafal i'r swm dros bob gwerth posibl wedi'i bwysoli gan debygolrwydd y gwerth hwnnw; hynny yw, caiff ei gyfrifo trwy gymryd lluoswm pob gwerth posibl x o X a'i thebygolrwydd p (x), ac yna ychwanegu'r holl luosymiau hyn gyda'i gilydd, gan roi $\mu =\sum xp(x)$. Mae fformiwla gyfatebol yn berthnasol i achos dosbarthiad tebygolrwydd parhaus. Nid yw gan pob dosbarthiad tebygolrwydd gymedr diffiniedig; gweler y dosbarthiad Cauchy er enghraifft. Ar ben hynny, ar gyfer rhai dosbarthiadau mae'r cymedr yn ddiderfyn.

I boblogaeth meidraidd (finite population), mae cymedr y boblogaeth yn hafal i'r cymedr rhifyddol, ac yn ystyried pob aelod o'r boblogaeth. Er enghraifft, mae uchder cymedr y boblogaeth yn hafal i swm uchder pob unigolyn wedi'i rannu â chyfanswm nifer yr unigolion. Gall cymedr y sampl fod yn wahanol i gymedr y boblogaeth, yn enwedig gyda samplau bach. Mae 'cyfraith niferoedd mawr' yn datgan: mwyaf yw maint y sampl, yna mwyaf tebygol fydd hi i gymedr y sampl fod yn agos at gymedr y boblogaeth.

Y tu allan i faes tebygolrwydd ac ystadegaeth, ceir ystyron a diffiniadau gwahanol o "gymedr": e.e. mewn geometreg a dadansoddi.

Cymedrau Pythagoras

Cymedr rhifyddol

Dyma'r ystyr arferol i 'gymedr'. Dynodir y cymedr rhifyddol o sampl, fel arfer gan $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, a ddynodir gan ${\bar {x}}$, sef cyfanswm gwerthoedd y sampl wedi'i rannu gan y nifer o eitemau yn y sampl

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

Er enghraifft, cymedr rhifyddol y pump gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw:

${\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.$

Cymedr geometrig (GM)

Math o gyfartaledd yw'r cymedr geometrig, sy'n ddefnyddiol ar gyfer setiau o rifau positif, yn unol a'u lluoswm ac nid eu cyfanswm (y cyfanswm a ddefnyddir gan gymedr rhifyddol, uchod). Er enghraifft, ystyrir graddfa cynnydd:

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}$

neu gymedr geometrig 5 gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw:

$(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.$

Cymedr harmonig

Cyfartaledd arall, sy'n ddefnyddiol ar gyfer set o rifau a ddiffinir mewn perthynas â unedau mesur, er enghraifft cyflymder dros amser.

${\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$

Er enghraifft, cymedr harmonig y 5 gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw

${\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.$

Termau

• cymedr rhifyddol - arithmetic mean
• Cymedr cyfrannol - mean proportional
• Cymedr Distyll Gorllanw - Mean Low Water Spring Tide
• Cymedr Penllanw Gorllanw - Mean High Water Spring Tide
• Cymedrau pwysol - weighted mean