Nabla operatoro

Ĉi tiu artikolo temas pri simbolo uzata en vektora kalkulo. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Operatoro.

En vektora kalkulo, nabla operatoro estas vektora diferenciala operatoro prezentita per la nabla simbolo $\nabla$.

Nabla operatoro estas unuavice konvencio por matematika notacio; ĝi faras multajn ekvaciojn pli simplajn por kompreni, skribi kaj memori. Dependante de loko de uzo, la nabla operatoro povas priskribi gradienton (inklino), diverĝencon (grado al kiu io konverĝas aŭ malkonverĝas) aŭ kirlon (turnan moviĝon je punktoj en fluido).

Nabla operatoro povas esti vidita kiel la derivaĵo en plurdimensia spaco. Kiam uzata en unu dimensio, ĝi prenas formon de la norma derivaĵo de kalkulo. Kiel operatoro, ĝi agas sur vektoraj kampoj kaj skalaraj kampoj kun analogo de tradicia multipliko. Kiel ĉiu operatoroj, ĉi tiuj devus ne esti konfuzita kun tradicia multipliko; aparte, nabla operatoro ne estas komuteca.

Difino

En la tri-dimensiaj karteziaj koordinatoj R³ kun koordinatoj (x, y, z), nabla operatoro estas difinita per partaj derivaĵaj operatoroj kiel

$\nabla =\mathbf {i} {\partial \over \partial x}+\mathbf {j} {\partial \over \partial y}+\mathbf {k} {\partial \over \partial z}$

kie {i, j, k} estas la norma bazo en R³.

Kvankam ĉefe nabla operatoro estas uzata en tri dimensioj, ĉi tiu difino povas esti ĝeneraligita al la n-dimensia eŭklida spaco Rⁿ. En la karteziaj koordinatoj kun koordinatoj (x₁, x₂, …, x_n), nabla operatoro estas:

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}$

kie $\{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\}$ estas la norma bazo en ĉi tiu spaco.

Pli kompakte, per la ejnŝtejna sumada notacio, nabla operatoro estas skribita kiel

$\nabla =\mathbf {e} _{i}\partial _{i}$

Tamen, la donitaj sube identoj kun la vektora produto estas limigitaj al la 3-dimensia kazo.

Nabla operatoro povas ankaŭ esti esprimita en aliaj koordinatsistemoj, vidu ekzemple en nabla operatoro en cilindra kaj sferaj koordinatoj.

Uzoj

Gradiento

La vektora derivaĵo de skalara kampo f estas nomata kiel la gradiento, kaj ĝi povas esti prezentita kiel:

${\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f$

Ĝi ĉiam montras je direkto de la plej granda pligrandiĝo de f, kaj ĝi havas grandecon egalan al la maksimuma valoro de la pligrandiĝo je la punkto, simile al norma derivaĵo pri unuvariabla kazo.

En aparta, ĉi tiu notacio estas pova ĉar la gradienta produta regulo aspektas tre simila al la derivaĵa produta regulo:

$\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$

La reguloj por produtoj ne ĉiam estas tiel simplaj, ekzemple:

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

Diverĝenco

La diverĝenco de vektora kampo v(x, y, z) = v_x i + v_y j + v_z k estas skalara funkcio kiu povas esti prezentita kiel:

${\mbox{div}}\,\mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v}$

La diverĝenco estas mezuro de tio kiel multe vektora kampo multiĝas je sia disdirektado for de punktoj.

La povo de la nabla operatora notacio estas montrita per jena produta regulo:

$\nabla \cdot (f\mathbf {v} )=f\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla f$

La formulo por la vektora produto estas malmulte malpli intuicia, ĉar ĉi tiu produto estas ne komuta:

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot \nabla \times \mathbf {u} -\mathbf {u} \cdot \nabla \times \mathbf {v}$

Kirlo

La kirlo curl v aŭ rot v de vektora kampo $v(x,y,z)=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$ estas vektora funkcio kiu povas esti prezentita kiel:

${\mbox{curl}}\;\mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {k} =\nabla \times \mathbf {v}$

La vektora produta operacio povas esti prezentita kiel pseŭdo-determinanto:

$\nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|$

Denove la povo de la notacio estas montrita per la produta regulo:

$\nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f\nabla \times \mathbf {v}$

La regulo por la vektora produto estas ne tiel simpla:

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \,\nabla \cdot \mathbf {u} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v}$

Direkta derivaĵo

La direkta derivaĵo de skalara kampo f(x, y, z) en la direkto a(x,y,z) = a_x i + a_y j + a_z k estas difinita kiel:

$\mathbf {a} \cdot {\mbox{grad}}\,f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=(\mathbf {a} \cdot \nabla )f$

Ĉi tiu donas la ŝanĝon de kampo f direkte al a. En operatora notacio, la ero en krampoj povas esti konsiderata sola kohera unuo; fluidodinamiko uzas ĉi tiu konvencion multe.

Laplaca operatoro

La laplaca operatoro estas skalara operatoro kiu povas esti aplikita al vektora aŭ skalara kampo. Ĝi estas difinita kiel:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$

La laplaca operatoro estas uzata en ekvacio de Poisson, la varma ekvacio, la onda ekvacio, la ekvacio de Schrödinger kaj la aliaj.

Tensora derivaĵo

Nabla operatoro povas ankaŭ esti aplikita al vektora kampo tiel ke la rezulto estas tensoro. La tensora derivaĵo de vektora kampo v estas 9-era dua-ranga tensoro, kiu povas esti signifita simple kiel $\nabla \otimes \mathbf {v}$ , kie $\otimes$ estas la duloka produto. Ĉi tiu aĵo estas ekvivalenta al la jakobia matrico de la vektora kampo.

Por malgranda delokiĝo $\delta \mathbf {r}$, la ŝanĝi de la vektora kampo estas donita per:

$\delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )\cdot \delta \mathbf {r}$

Duaj derivaĵoj

Kiam nabla operatoro operacias sur skalaro aŭ vektoro, ĝenerale skalaro aŭ vektoro estas redonita. Pro la diverseco de vektoraj produtoj, unu apliko de nabla operatoro povas doni diverĝencon, gradienton aŭ kirlon. Apliko de ĉi tiuj tri specoj de derivaĵoj denove unu al la alian donas kvin eblajn duajn derivaĵoj, por skalara kampo f aŭ vektora kampo v; la uzi de la laplaca operatoro donas ankoraŭ duon:

${\mbox{div}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)$

${\mbox{curl}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)$

$\Delta f=\nabla ^{2}f$

${\mbox{grad}}\,({\mbox{div}}\,\mathbf {v} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )$

${\mbox{div}}\,({\mbox{curl}}\,\mathbf {v} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

${\mbox{curl}}\,({\mbox{curl}}\,\mathbf {v} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )$

$\Delta \mathbf {v} =\nabla ^{2}\mathbf {v}$

Ĉi tiuj estas de intereso ĉefe ĉar ili estas ne ĉiam unikaj aŭ sendependaj unu de la alia. Se la funkcioj estas bone kondutitaj, du el ili estas ĉiam nulaj:

${\mbox{curl}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=0$

${\mbox{div}}\,({\mbox{curl}}\,\mathbf {v} )=\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {v} =0$

Du el ili estas ĉiam egalaj:

${\mbox{div}}\,({\mbox{grad}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$

La 3 ceteraj vektoraj derivaĵoj estas rilatantaj per la ekvacio:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v}$

Kaj unu el ili povas esti esprimita kun la tensora produto, se la funkcioj estas bone kondutitaj:

$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\nabla \otimes \mathbf {v} )$

Zorgoj

Plejparto de la pli supre donitaj identoj (krom tiuj, kiuj estas bazitaj eksplicite sur diferencialaj propraĵoj de nabla operatoro - ekzemple, la produta regulo) baziĝas nur sur simbola reordigo kaj devas nepre validi, se nabla operatoro estas anstataŭigita per ĉiu alia vektoro.

Kvankam oni povas ofte anstataŭigi nablan operatoron per vektoro aŭ reen kaj ricevi veran vektoran identon, ĉi tiu ŝanĝo estas ne fidinda ĝenerale, ĉar nabla operatoro ne nepre komutiĝas.

Kontraŭekzemplo surbaze de nekomuteco de nabla operatoro:

$(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f$

$(\nabla \cdot \mathbf {v} )f\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f$

$(\nabla \cdot \mathbf {v} )f=({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}})f=$

$={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f$

$(\mathbf {v} \cdot \nabla )f=(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}})f=$

$=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$

Kontraŭekzemplo surbaze de diferencialaj propraĵoj de nabla operatoro:

$(\nabla x)\times (\nabla y)=(\mathbf {i} {\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial x}{\partial z}})\times (\mathbf {i} {\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial y}{\partial z}})=$

$=(\mathbf {i} \cdot 1+\mathbf {j} \cdot 0+\mathbf {k} \cdot 0)\times (\mathbf {i} \cdot 0+\mathbf {j} \cdot 1+\mathbf {k} \cdot 0)=$

$=\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$

$(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=xy\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Tial, identoj kun nabla operatoro devas esti derivita aparte, ne per simpla meto de la operatoro anstataŭ iu vektoro en vektora idento.

Tiel, la operatoro povas esti konsiderata kiel nerigora notacio.

Vidu ankaŭ

• Tabelo de matematikaj simboloj
• Vektoraj identoj
• Vektora kalkulo
• Ekvacioj de Maxwell
• Nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj
• Operacioj en vektora kalkulo

Eksteraj ligiloj

• [1] Katastro de la netaŭga uzo de $\nabla$ en vektora analitiko. Chen Tai, 1994.
• Jeff Miller, Plej fruaj uzoj de simboloj de kalkulo (Aŭg. 30, 2004).
• Cleve Moler, red., "Historio de nabla", NA digesto 98 (Jan. 26, 1998).