Ekvacioj de Maxwell

La ekvacioj de Maxwell estas kvar ekvacioj kiuj priskribas la konduton de elektraj kaj magnetaj kampoj. Ili estas la fundamento de klasika elektromagnetismo, de klasika optiko, kaj de elektraj kaj magnetaj cirkvitoj. Ili estis eltrovitaj de James Clerk Maxwell en 1864. Konsekvence al la leĝo de Lenz-Faraday pri la variado de magneta flukso $\Delta \Phi$ , la laboro W de la elektromagneta forto (de Lorentz/Laplace) sur elektra konduktilo, kiu estas trairita de elektra kurento I, estas :

W=I\Delta \Phi \ ,

$\Delta \Phi$ estas la variado de la magneta fluo, kiu trairis la surfacon de la elektra konduktilo, aŭ kiun trapasas la elektra konduktilo.

En la sekvantaj ekvacioj, dikliteraj simboloj reprezentas vektorojn, dum kursivaj simboloj reprezentas skalarojn.

La ekvacioj de Maxwell estas ĝeneralaj, sed sekvas iliaj aplikoj laŭ la konsiderataj medioj.

Formulado pri liberaj ŝargoj kaj kurentoj

Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio.

Pri lokala formo :

\left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho _{l}}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Gauss\;pri\;elektrostatiko)} \\\nabla \cdot \mathbf {B} =0&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Gauss\;pri\;magnetismo)} \\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Faraday)} \\\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} _{l}+{\partial \mathbf {D} }/{\partial t}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Ampere)} \end{matrix}}\right.

kie

\nabla \cdot \mathrm {N}

estas diverĝenco de N kaj

\nabla \times \mathrm {N}

estas kirlo de N, konsiderante

\rho _{l}

la ŝargodenso de liberaj ŝargoj, kaj

\mathbf {j} _{l}

la libera kurenta denseco.

La kurenta denseco estas proporcia al la trairantaj elektraj ŝargoj, kiuj estas proporciaj al la elektra kampo E, la proporcia koeficiento nomiĝas elektra konduktivo σ :

\mathbf {j} _{l}=\sigma \mathbf {E} \;.

Se oni integras la kvar ĉisuprajn ekvaciojn de Maxwell, la integralaj formoj deduktiĝas tiel :

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {D} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=\iiint _{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho _{l}\;\mathrm {d} v=Q_{l}(V)\;,$	pri elektra flukso tra fermita surfaco (vidi Gaŭsan leĝon)
$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;$	pri magneta flukso tra fermita surfaco (leĝo de konserviĝa flukso)
$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}\;;$	(vidi leĝon de Lenz-Faraday)
$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {j} _{l}}\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {D} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =I_{l}+{\frac {\partial \Phi _{D}}{\partial t}}\;;$	(vidi Amperan cirkvitan leĝon)

kie

\mathrm {N} \cdot \mathrm {n}

estas skalara produto inter N kaj n ,

Q_{l}(V)

estas la sumo de liberaj elektraj ŝargoj tra la fermita volumeno V ,

I_{l}

estas la sumo de liberaj elektraj kurentoj tra la surfaco S ,

\Phi _{B}

estas la magneta flukso de la magneta indukdenso B kaj

\Phi _{D}

estas la elektra flukso de la elektra ŝovodenso D.

Formulado pri tutaj ŝargoj kaj kurentoj

Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio kun dielektraj aŭ/kaj magnetaj propraĵoj.

\left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho }/{\epsilon \varepsilon _{0}}&\mathrm {(MG)} \\\nabla \cdot \mathbf {B} =0&\mathrm {(M\Phi )} \\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}&\mathrm {(MF)} \\\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {J} +\mu \mu _{0}\epsilon \varepsilon _{0}{\partial \mathbf {E} }/{\partial t}&\mathrm {(MA)} \end{matrix}}\right.

kie

\rho \

estas la tuta la ŝarga denseco de liberaj ŝargoj kaj baraj ŝargoj

\rho =\rho _{l}+\rho _{b}\

,

\mathbf {J}

la tuta kurenta denseco,

\mathbf {J} =\mathbf {j} _{l}+\mathbf {j} _{b}

,

\epsilon \

estas la dielektra permeableco (povus esti kompleksa) de la medio kaj

\mu \

estas la permeableco (povus esti kompleksa) de la medio ;

sciante ke

\varepsilon _{0}

estas la permitiveco de vakuo kaj

\mu _{0}\

estas la permeableco de vakuo.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }={Q(V)}/{\epsilon \varepsilon _{0}}\;,$	(Gaŭsa leĝo)
$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;$	(konserviĝa flukso)
$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}\;;$	(Leĝo de Lenz-Faraday)
$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\mu \mu _{0}I+\mu \mu _{0}\epsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}\;;$	(Ampera cirkvita leĝo)

kie

Q(V)

estas la tutaj elektraj ŝargoj en la fermita volumeno V ,

I

estas la tutaj kurentoj tra la surfaco S limigita per la kurbo C, kaj

\Phi _{E}

estas la elektra fluo.

Aparta kazo de konstanta frekvenco kaj kompleksaj komponantoj :

\left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot {\underline {\mathbf {D} }}=\rho \\\nabla \cdot {\underline {\mathbf {B} }}=0\\\nabla \times {\underline {\mathbf {E} }}=-i\omega {\underline {\mathbf {B} }}\\\nabla \times {\underline {\mathbf {B} }}/{\mu \mu _{0}}=(\sigma +i\varepsilon \varepsilon _{0}\omega ){\underline {E}}\end{matrix}}\right.

kie

i={\sqrt {-1}}

, kaj

\omega \

estas la angula frekvenco .

Formulado pri linearaj medioj

Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al linearaj, izotropaj kaj tempo-invariantaj medioj.

\left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} =\rho _{l}\\\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}\\\nabla \times {\mathbf {B} }/{\mu \mu _{0}}=\mathbf {j} _{l}+\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial \mathbf {E} }/{\partial t}\end{matrix}}\right.

kie

\varepsilon

estas la relativa permitiveco (reela valoro) de la materio,

\mu \

estas la relativa permeableco (reela valoro) de la materio.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=Q_{l}(V)\;,$
$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;$
$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}\;;$
$\oint _{C}{\mathbf {B} }/{\mu \mu _{0}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =I_{l}+\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}\;;$

Formulado pri vakuo

En vakuo, la relativa permitiveco egalas al unu ( $\varepsilon =1$ ), same kiel la relativa permeableco ( $\mu =1\$ ), plie estas neniuj ŝargoj ( $\rho =0\$ ) kaj neniu kurento ( $\mathbf {j} =0\$ ).