Σφαίρα

Για άλλες χρήσεις, δείτε: Σφαίρα (αποσαφήνιση).

Σφαίρα ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από ένα σημείο Ο στον τρισδιάστατο χώρο. Το σημείο Ο ονομάζεται και κέντρο της σφαίρας και η απόσταση ρ ακτίνα. Ως διάμετρος της σφαίρας ορίζεται το διπλάσιο της ακτίνας της και είναι η μέγιστη δυνατή απόσταση δύο σημείων της. Η σφαίρα είναι μια δισδιάστατη κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Μια σφαιρική επιφάνεια έχει καμπυλότητα τέτοια που δεν επιτρέπει την ύπαρξη επίπεδου αναπτύγματος, όπως απέδειξε ο Αρχιμήδης.

Ορολογία

• Μπάλα: Ονομάζεται το σύνολο των εσωτερικών σημείων μιας σφαίρας. Δηλαδή είναι ο τρισδιάστατος χώρος εντός μιας σφαίρας, αντίστοιχα όπως ο δίσκος είναι η δισδιάστατη επιφάνεια εντός του κύκλου. Μπορεί να είναι κλειστή, δηλαδή να συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Μπορεί να είναι ανοιχτή, δηλαδή να μη συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Η μπάλα καταχρηστικά μπορεί να λεχθεί σφαίρα.
• Συμπαγής σφαίρα: Καταχρηστικός όρος που χρησιμοποιείται αντί του όρου μπάλα.
• Σφαιρικός φλοιός: Σε αντιδιαστολή με τον παραπάνω όρο σημαίνει την επιφάνεια της μπάλας, δηλαδή τη σφαίρα με την αυστηρή μαθηματική έννοια.
• Φυσαλίδα: Εννοείται συνήθως ότι το σύνολο των εξωτερικών σημείων μιας σφαίρας είναι υλικό, ενώ το εσωτερικό της σφαίρας όχι, το οποίο ονομάζεται φυσαλίδα.
• Ημισφαίριο: Μία από τις δύο σφαιρικές περιοχές που ορίζει ένας μέγιστος κύκλος της σφαίρας.

Σχετικές θέσεις σφαίρας επιπέδου

Η απόσταση h είναι η διαφορά ρ-δ.

Οι σχετικές θέσεις σφαίρας-επιπέδου είναι αντίστοιχες με τις σχετικές θέσεις κύκλου-ευθείας. Έστω δ η απόσταση κέντρου της σφαίρας και του επιπέδου και ρ η ακτίνα της σφαίρας:

1. Να μην έχουν κανένα κοινό σημείο το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν δ>ρ.
2. Να εφάπτονται ανν δ=ρ, δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
3. Να τέμνονται ανν δ<ρ, δηλαδή υπάρχουν περισσότερα κοινά σημεία και για την ακρίβεια αυτά τα σημεία είναι κύκλος.

Η τομή μιας σφαίρας με ένα επίπεδο είναι κύκλος

Σφαίρα και μέγιστος κύκλος.

απόδειξη:

Έστω δύο τυχαία σημεία αυτής της τομής. Για κάθε ένα από τα δύο σημεία αντιστοιχεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές το ίδιο το σημείο, το κέντρο της σφαίρας και την υποτείνουσα του αποστήματος του επιπέδου από το κέντρο της σφαίρας. Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο ομόλογες πλευρές ίσες, το απόστημα και την ακτίνα της σφαίρας, άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως οι αποστάσεις των δύο σημείων από την υποτείνουσα ισούνται. Τα δύο σημεία είναι τυχαία, άρα όλα τα σημεία της τομής απέχουν από την υποτείνουσα σταθερή απόσταση, άρα ανήκουν εξορισμού σε κύκλο.

Αντίστροφα κάθε αυτού του κύκλου είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου με τις άλλες κορυφές το κέντρο της σφαίρας και την υποτείνουσα.

Η μέγιστη δυνατή τιμή ενός τέτοιου κύκλου είναι η ακτίνα της σφαίρας, (αποδεικνύεται με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο). Αυτός ο κύκλος ονομάζεται μέγιστος κύκλος και είναι η τομή της σφαίρας με επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της.

Αλγεβρική περιγραφή

Σφαίρα ακτίνας ρ περιγράφεται στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων κέντρου Ο (χ,ψ,ζ) με τον τύπο:

$(x-\chi )^{2}+(y-\psi )^{2}+(z-\zeta )^{2}=\rho ^{2}$

Το οποίο σημαίνει ότι η απόσταση τυχαίου σημείου από το κέντρο της σφαίρας ισούται με ρ.

Σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων η έννοια της σφαίρας εμπεριέχεται στο σύστημα αναφοράς, αν η σφαίρα έχει ως κέντρο την αρχή του συστήματος η εξίσωσή της είναι: $r=\rho$

Σε διανυσματική μορφή η εξίσωση της σφαίρας είναι: $|X-K|=\rho$, όπου Χ τυχαίο σημείο και Κ το κέντρο της σφαίρας.

Η σφαίρα στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

$X(u,v)=R*\cos(u)*\cos(v)$
$Y(u,v)=R*\sin(u)*\cos(v)$
$Z(u,v)=R*\sin(v)$

-π≤$u$≤π
(-π/2)≤$v$≤(π/2)
Η ακτίνα της σφαίρας είναι $R$

Παραπομπή:*commons:file:parametric system of coordinates.pdf

Σφαιρική γεωμετρία

Σφαιρικό τρίγωνο.

Με βάση τη σφαίρα αναπτύχθηκε μια απόλυτη γεωμετρία σε αντιδιαστολή με την επίπεδη. Αρχικά παρουσίαζε εφαρμογές στη ναυσιπλοΐα και την αστρονομία, λόγω της σφαιρικότητας της γης, αλλά αργότερα μελετήθηκε περαιτέρω, γιατί χρειαζόταν στη θεωρητική φυσική και συγκεκριμένα της κοσμολογίας μόλις ανακαλύφθηκε η καμπύλωση του χωροχρόνου. Στη σφαιρική γεωμετρία ορίζονται ως:

• Σημείο: Ένα από τα δύο σημεία που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της. Στις πρώτες απόπειρες θεμελίωσης της σφαιρικής γεωμετρίας είχαν ορίσει το ζεύγος των δύο σημείων.
• Ευθεία: Ένας μέγιστος κύκλος.

Τα υπόλοιπα σχήματα ορίζονται με βάση την επιπεδομετρία με εξαίρεση το αξίωμα της παραλληλίας, καθώς στη σφαίρα δεν υπάρχουν μέγιστοι κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (άρα από σημείο εκτός ευθείας δε διέρχεται καμία παράλληλος, ενώ το άθροισμα των τριγώνων μπορεί να ισούται να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 180°). Στη σφαίρα χρησιμοποιείται το πολικό σύστημα συντεταγμένων, όπως στο επίπεδο χρησιμοποιείται το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ το μήκος στη σφαιρομετρία μετράται σε ακτίνια ή μοίρες, δηλαδή μονάδες γωνίας.

Στερεά γωνία

Στη φυσική και μηχανική είναι χρήσιμο και ένα άλλο μέγεθος που προκύπτει από τη σφαίρα, η στερεά γωνία. Έστω μια κλειστή καμπύλη ορισμένη πάνω στη σφαίρα. Έστω το εμβαδόν του σφαιρικού τμήματος που ορίζει Ε (αν η στερεά γωνία είναι κυρτή θεωρούμε το κυρτό τμήμα, αν είναι κοίλη το κοίλο), και η ακτίνα της σφαίρας ρ. Τότε το μέτρο της στερεάς γωνίας είναι:

$\alpha ={\frac {E}{\rho ^{2}}}$

Η στερεά γωνία μετράται σε στερεοακτίνια (steradian).

Σφαιρομετρία

Ο όγκος του εσωτερικού της σφαίρας ισούται με ${\frac {4}{3}}\pi \rho ^{3}$, ενώ το εμβαδόν της επιφάνειάς της με $4\pi \rho ^{2}$. Το εμβαδόν της σφαίρας ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας κυκλικού κυλίνδρου διαμέτρου και ύψους ίσου με τη διάμετρο της σφαίρας, αν εξαιρεθούν οι βάσεις, όπως απέδειξε ο Αρχιμήδης πάνω από 2200 χρόνια πριν χωρίς τη χρήση του λογισμού.

Η σφαίρα έχει άπειρους άξονες συμμετρίες και επίπεδα συμμετρίας, αυτά που διέρχονται από το κέντρο της, ενώ σημείο συμμετρίας είναι το ίδιο το κέντρο της.

Σχετικά σχήματα

Η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως σχήμα εκ περιστροφής ενός κύκλου ή ημικυκλίου ή γενικά τόξου μεγαλύτερου του π γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (και τα άκρα του στην περίπτωση του ημικυκλίου).

Αν αντί για κύκλος χρησιμοποιηθεί έλλειψη κατά μήκος του μεγάλου άξονά της θα προκύψει ένα ωοειδές σχήμα, μια επιμηκυμένη σφαίρα. Κατά μήκος του μικρού άξονα θα προκύψει μια πεπλατυσμένη σφαίρα, που είναι το σχήμα της γης.