「書かず」は、四段活用の動詞「書く」の未然形+「ず」ですね。 それに対して、「書けず」は、平安時代にはまだなかった語なので、実際に古文で使われているかどうかわかりませんが、現代語では「書ける」という下一段活用の動詞の未然形+「ず」ということですので、質問者さんは活用の異なる二つの動詞を混同しているのではないかと思います。 もし古文に「書くる」という下二段活用の動詞が存在したとすれば、打ち消しの「ず」をつけた時は「書けず」となりますから、【判別できた】ということになります。 活用の種類がもっとも判別しづらいのは、現代では全く使われていない動詞でしょう。そういう動詞では、「ず」をつけてもその言い方が自然かどうかがわかりませんね。その時は、面倒でも古語辞典を調べて、何活用の動詞、と暗記するようにしてください。