積分って面積を求める場合を除けばマイナスになってもいいんですか?

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はい、積分はマイナスになる場合があります。面積を求める場合を除いて、積分の結果がマイナスになることは全く問題ありません。

定積分は確かに面積を求める目的からスタートした概念ですが、その概念はありとあらゆる場面で用いられて面積以外のものも求めるために使われます。したがって、結果として負の値が算出されることも当然あります。

x軸の下の部分や積分範囲を反対にするとマイナスになることは有る。