Падгрупа

	Група, алгебра
Асноўныя паняцці
	Падгрупа; Нармальная падгрупа; Фактаргрупа ; (паў-)Прамы здабытак;
Тапалагічныя групы
	Група Лі; Артаганальная група O(n); Спецыяльная ўнітарная група SU(n); G2 F4 E6 E7 E8; Група Лорэнца; Група Пуанкарэ;

Падгрупа ― падмноства $H$ групы $G$ , якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца $G$ .

Падмноства $H$ групы $G$ з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

Прыклады

Падмноства групы $G$ , якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы $G$ .
Сама $G$ таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
Сама група $G$ і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы $G$ , усе астатнія ― уласнымі.
Перасячэнне ўсіх падгруп групы $G$ , якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства $M$ , называецца падгрупай, спароджанай мноствам $M$ , і абазначаецца $<M>$ .
Калі $M$ $M$ складаецца з аднаго элемента $a$ $a$ , то $<a>$ $<a>$ называецца цыклічнай падгрупай элемента $a$ .
- Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца цыклічнай групай.
Калі група $G_{1}$ ізаморфная некаторай падгрупе $H$ групы $G$ , то кажуць, што група $G_{1}$ можа быць ўкладзена ў групу $G$ .

Непустое мноства $H\subset G$ з'яўляецца падгрупай групы $G$ тады і толькі тады, калі для любых $a,b\in H$ выконваецца $ab^{-1}\in H.$
Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы $G_{1}$ з'яўляецца падгрупай групы $G$ .
Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп $H$ і $K$ называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў $H\cup K$ .
Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 24-25. — 224 с.