Підгрупа

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

Підгрупою групи G називається підмножина $H$ групи $G$, що сама є групою щодо операції, визначеної в $G$.

Підмножина $H$ групи $G$ є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

1. містить добуток будь-яких двох елементів з $H$,
2. містить разом зі всяким своїм елементом $h$ обернений до нього елемент $h^{-1}$.

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно $H$ є підгрупою, якщо виконується умова:

$\forall (x,y)\in H^{2},x*y^{-1}\in H$

Приклади

• Підмножина групи $G$, що складається з одного елементу $1$, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи $G$.
• Сама $G$ також є своєю підгрупою.
• Нехай G абелева група елементами якої є

$G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}$

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення

• Сама група $G$ і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
• Перетин всіх підгруп групи $G$, що містять всі елементи деякої непорожньої множини $M$, називається підгрупою, породженою множиною $M$, і позначається $<M>$.
• Якщо $M$ складається з одного елемента $a$, то $<a>$ називається циклічною підгрупою елемента $a$.
• Якщо група $G_{1}$ ізоморфна деякій підгрупі $H$ групи $G$, то кажуть, що група $G_{1}$ може бути вкладена в групу $G$.

Властивості

• Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи $G$ є підгрупою групи $G$.
• Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп $H$ і $K$ називається підгрупа, породжена об'єднанням множин $H\cup K$.
• Нехай $f:G\rightarrow G'\,$ — гомоморфізм груп. Тоді якщо $H\,$ є підгрупою $G\,$, то $f(H)\,$ є підгрупою $G'\,$. Якщо $H'\,$ є підгрупою $G'\,$, то $f^{-1}(H')\,$ є підгрупою $G\,$.
• Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також

• Підструктура (математика)
• Теорема Лагранжа (теорія груп)
• Нормальна підгрупа
• Характеристична підгрупа
• Центр групи
• Теорема Хайоша

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)