閉路被覆とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 02:21 UTC 版)

「パーマネント (数学)」の記事における「閉路被覆」の解説

任意の正方行列 A := (aij) は適当な重み付き有向グラフの隣接行列と見なすことができて、各 aij は頂点 i から j へ結ぶ弧の重み付けを表す。重み付き有向グラフの閉路被覆（英語版）とは、その有向グラフの点素 (vertex-disjoint) な有向閉路のあつまりで、グラフのすべての頂点を被覆するものを言う。このとき、有向グラフの各頂点 i は、その閉路被覆において一意的な「後続点」σ(i) を持ち、σ は {1, 2, …, n}（n はグラフの頂点数）の置換となる。逆に、{1, 2, …, n} 上の任意の置換 σ は、各 i に対して頂点 i から σ(i) へ結ぶ弧がある閉路被覆に対応する。 「閉路被覆の重み」を各閉路における重みの総乗と定めるならば、 weight ⁡ ( σ ) := ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle \operatorname {weight} (\sigma ):=\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}} と書ける。n × n 行列 A のパーマネントの定義 perm ⁡ ( A ) = ∑ σ ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma }\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}} （σ は {1, 2, …, n} 上の置換）と比較すれば、隣接行列 A のパーマネントが、対応する有向グラフの閉路被覆すべてに亙る重み付き和に等しいことが分かる。

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