斉次超函数とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 03:14 UTC 版)

「斉次函数」の記事における「斉次超函数」の解説

詳細は「斉次シュヴァルツ超函数」を参照 Rn 上のコンパクト台つき連続函数 ƒ が斉 k-次であるための必要十分条件は ∫ R n f ( t x ) φ ( x ) d x = t k ∫ R n f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx} が任意のコンパクト台試験函数 φ と非零実数 t に対して満たすことである。同じことだが、変数変換 y = tx を行えば、ƒ が斉 k-次であるための必要十分条件は t − n ∫ R n f ( y ) φ ( y / t ) d y = t k ∫ R n f ( y ) φ ( y ) d y {\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y/t)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy} を任意の t と試験函数 φ について満たすことと言い直せる。こうすればシュヴァルツ超函数の斉次性を定義するのに利用できる。即ち、シュヴァルツ超函数 S が斉 k-次であるとは t − n ⟨ S , φ ∘ μ t ⟩ = t k ⟨ S , φ ⟩ {\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle } を任意の非零実数 t と試験函数 φ に対して満たすことを言う。ここに、山括弧 〈〉 はシュヴァルツ超函数と試験函数の間の双対性内積を表し、また μt: Rn → Rn は実数 t によるスカラー乗法作用素を表す。

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