微分可能性とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 04:33 UTC 版)

「グラフ (関数)」の記事における「微分可能性」の解説

「微分法」および「滑らかな関数」も参照 関数 f が x=a で微分可能であるとは、おおまかには、 f のグラフが (a,f(a)) の周辺で「滑らか」であって、その点における接線が描けるということである。例えば、絶対値関数は、x=0 でのみ微分不可能であって、他の点では微分可能である。なお、微分可能ならば連続でもあるが、逆は成り立たない。 微分可能性は、やはり極限を用いて定義されるのであって、必ずしも直感的に分かりやすい例ばかりではない。例として、次の関数 f1 を考える。この関数のグラフは、原点の近くで無限回振動しており、正確に描くことはできない。 f 1 ( x ) = { 0 , ( x ≤ 0 ) x sin ⁡ ( 1 x ) , ( x > 0 ) {\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0,&(x\leq 0)\\x\sin \left({\dfrac {1}{x}}\right),&(x>0)\end{cases}}} f1 は x=0 で連続ではあるが、微分可能ではない。このことは、グラフの外見だけからは判別しにくい。 似た定義式であっても、次の関数は x=0 で微分可能である。 f 2 ( x ) = { 0 , ( x ≤ 0 ) x 2 sin ⁡ ( 1 x ) , ( x > 0 ) {\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0,&(x\leq 0)\\x^{2}\sin \left({\dfrac {1}{x}}\right),&(x>0)\end{cases}}} なお、導関数 f2′は x = 0 で不連続である。 絶対値関数は原点で微分不可能 f1 は原点で微分不可能 f2 は原点で微分可能

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