土圧とは？ わかりやすく解説

受働土圧の時の連力図

${\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}={\frac {P_{p}}{\mathrm {sin} (\theta +\phi )}}\!}$

土くさびの面積

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}$

また、正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}$

辺${\displaystyle AB}$を壁体の高さ${\displaystyle H}$を用いて表す。

${\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}$

以上より土くさびの面積は以下の通りである。

${\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

したがって、土の重さは以下のように得られる。

${\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}$

つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。

${\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}}$

${\displaystyle \theta \,\!}$の最適解は極限定理の上界定理の考え方から${\displaystyle P_{p}\,\!}$を最大とする時の${\displaystyle \theta \,\!}$となる。

すなわち、以下の関係を満たす時の${\displaystyle \theta \,\!}$が最適解となり、その時の${\displaystyle P_{p}\,\!}$がクーロンの受働土圧となる。

${\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}$

クーロンの受働土圧は以下の通りである。

${\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}$

${\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}$

ランキン土圧とクーロン土圧の相違