分数イデアルとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)

「代数体」の記事における「分数イデアル」の解説

以下の3条件を満たす K {\displaystyle K} の部分集合 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を、K の分数イデアル (fractional ideal)という。 α ,   β ∈ a {\displaystyle \alpha ,\ \beta \in {\mathfrak {a}}} に対して、 α + β ∈ a {\displaystyle \alpha +\beta \in {\mathfrak {a}}} 。 α ∈ a {\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {a}}} 、 λ ∈ I K {\displaystyle \lambda \in I_{K}} に対して、 λ α ∈ a {\displaystyle \lambda \alpha \in {\mathfrak {a}}} 。 λ ∈ I K {\displaystyle \lambda \in I_{K}} ( λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} ) が存在して、 λ a ⊂ I K {\displaystyle \lambda {\mathfrak {a}}\subset I_{K}} 。 I K {\displaystyle I_{K}} 上の通常のイデアルは、明らかに分数イデアルである。通常のイデアルと分数イデアルとを区別する必要があるとき、通常のイデアルのことを、整イデアル (integral ideal) という。 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を n 次代数体 K の分数イデアルとすると、 α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} が存在して、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元は、 α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} の有理整数を係数とする1次結合で一意的に表現される。このとき、 { α 1 , … , α n } {\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}} を、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の基底という。 代数体 K の分数イデアルは、イデアルの乗法で、可換な乗法群をなす。単位元は、 ( 1 ) ( = I K ) {\displaystyle (1)(=I_{K})} であり、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の逆元は、 a − 1 = { λ ∈ K | λ a ⊂ I K } {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{-1}=\{\lambda \in K|\lambda {\mathfrak {a}}\subset I_{K}\}} である。これを、イデアル群 (ideal group)という。 任意の分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} は、一意的に、 a = ∏ i = 1 r p i e i {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\prod _{i=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}} （各 e i {\displaystyle e_{i}} は、0 ではない有理整数） と素イデアルの積で表される。

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