一般均衡とICAPMとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/24 05:42 UTC 版)

「異時点間CAPM」の記事における「一般均衡とICAPM」の解説

金融市場には K {\displaystyle K} 人の投資家がいるとして、市場におけるリスク資産に対する総需要関数ベクトルは D := ∑ k = 1 K W k w k = A σ P P − 1 ( α − r ) + σ P P − 1 σ P X H {\displaystyle D:=\sum _{k=1}^{K}W^{k}w^{k}=A\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}H} となる。ただし、 A = ∑ k = 1 K A k , H = ∑ k = 1 K H k {\displaystyle A=\sum _{k=1}^{K}A^{k},H=\sum _{k=1}^{K}H^{k}} である。ここで ϕ M {\displaystyle \phi _{M}} を市場ポートフォリオとすると、市場ポートフォリオの収益率は d P M P M := ∑ i = 1 n ϕ M , i d P i P i = ( ∑ i = 1 n ϕ M , i α i ) d t + ∑ i = 1 n ϕ M , i σ i d Z i {\displaystyle {\frac {dP_{M}}{P_{M}}}:=\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}\alpha _{i}\right)dt+\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}\sigma _{i}dZ_{i}} となる。よって市場ポートフォリオの瞬間的なリスクプレミアムは α M − r = ϕ M ′ ( α − r ) {\displaystyle \alpha _{M}-r=\phi _{M}^{\prime }(\alpha -r)} であり、瞬間的な分散は ϕ M ′ σ P P ϕ M {\displaystyle \phi _{M}^{\prime }\sigma _{PP}\phi _{M}} で表される。ただし、 x ′ {\displaystyle x^{\prime }} はベクトル x {\displaystyle x} の転置を指す。ここで一般均衡における市場清算条件から、市場全体のリスク資産に対する時価総額を M {\displaystyle M} とすれば、 ϕ M = D M = A M σ P P − 1 ( α − r ) + σ P P − 1 σ P X H M {\displaystyle \phi _{M}={\frac {D}{M}}={\frac {A}{M}}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}{\frac {H}{M}}} σ P M := ( ⟨ d P 1 P 1 , d P M P M ⟩ d t ⋮ ⟨ d P n P n , d P M P M ⟩ d t ) = σ P P ϕ M = A M ( α − r ) + σ P X H M {\displaystyle \sigma _{PM}:=\left({\begin{array}{c}{\dfrac {{\Big \langle }{\frac {dP_{1}}{P_{1}}},{\frac {dP_{M}}{P_{M}}}{\Big \rangle }}{dt}}\\\vdots \\{\dfrac {{\Big \langle }{\frac {dP_{n}}{P_{n}}},{\frac {dP_{M}}{P_{M}}}{\Big \rangle }}{dt}}\end{array}}\right)=\sigma _{PP}\phi _{M}={\frac {A}{M}}(\alpha -r)+\sigma _{PX}{\frac {H}{M}}} となる。よって α − r = M A σ P M − σ P X H A {\displaystyle \alpha -r={\frac {M}{A}}\sigma _{PM}-\sigma _{PX}{\frac {H}{A}}} である。加えて、 α M − r = ϕ M ′ ( α − r ) = M A σ M M − σ M X H A {\displaystyle \alpha _{M}-r=\phi _{M}^{\prime }(\alpha -r)={\frac {M}{A}}\sigma _{MM}-\sigma _{MX}{\frac {H}{A}}} となる。ただし、 σ M X {\displaystyle \sigma _{MX}} は市場ポートフォリオと状態変数の共分散ベクトルである。よって M A = α M − r σ M M + σ M X σ M M H A {\displaystyle {\frac {M}{A}}={\frac {\alpha _{M}-r}{\sigma _{MM}}}+{\frac {\sigma _{MX}}{\sigma _{MM}}}{\frac {H}{A}}} となる。これを α − r {\displaystyle \alpha -r} に代入すると、 α − r = σ P M σ M M ( α M − r ) + 1 σ M M ( σ P M σ M X − σ M M σ P X ) H A {\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{MX}-\sigma _{MM}\sigma _{PX}{\Big )}{\frac {H}{A}}} α i − r = σ i , M σ M M ( α M − r ) + H e d g e i {\displaystyle \alpha _{i}-r={\frac {\sigma _{i,M}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+Hedge_{i}}

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