問１のヒント (ⅰ)両辺を2乗するとよい。 (ⅱ)、(ⅲ)について この不等式はそのままでは成立しない。 a,bに前提条件がつくのか、そもそも証明する不等式そのものが 違うのかいまいちはっきりしない。 (ⅳ)aは0ではないんだなw a|bだから、0ではない整数kが存在してb=akとなる。 |k|=1あるいは、|k|＞1となるのがポイント。 (ⅵ)と(ⅴ)については、(ⅵ)を解いてから、(ⅴ)にいった方がよさそう な気がする。 問２、問３、問４が出された背景はわからないけど 素因数分解の一意性の証明を授業でやっているなら、 m_b_ohtaniさんの方針だと、循環論法になりかねないね。 問4の結果から、素因数分解の一意性の証明ができるから。 問2～問4は難しいと思うから、あえて回答する。 順番は前後するが、まず問3から 問３ 整数の集合Sを以下のようにおく S={ncがaで割り切れるような整数nの集合} Sの正の元のうち最小となるものをeとする。 Sの任意の元はeで割り切れることを証明する。…§ §の証明 (±a)c=±ac、(±b)c=±bcはともにaで割り切れる。 したがって剰余の原理から、±a∈Sかつ、±b∈Sがいえるから、 Sの元は空ではない。 しかも、gcd(a.b)=1よりa=b=0とはなりえないので ±a，±bのいずれかは正の値をとる。 よってSは必ず正の元を含む。 Sの正の元の中で最小となるものをeとおく。 Sの元の中に、eで割り切れない元kが存在すると仮定する。 kをeで割り、商をq、余りをrとおく k=eq+r，0＜r＜eとおく。 k，eはSの元だから整数i,jを用いてkc=ai，ec=ajとかける。 (剰余の原理より整数i,jはただ一つに定まる) このとき、rc=kc-eqc=a(ic-jqc)かつ0＜r＜eだから、rはeより小さな 正のSの元となるが、このことはSの正の元の中でeが最小で あることに反する。 よってSの任意の元がeで割り切れることがいえる。 §の証明ここまで §よりSの元a,bもeで割り切れる。 ここでe≧2と仮定すると、eはa,bの2以上の公約数となり、 gcd(a.b)=1に反する。 よってe=1でなければならない c=ec=ajとなるから、cがaで割り切れることが言えた。 問２ a|c、b|cより整数s,tが存在して、c=as=btとなることがいえる。 as=btっだからasがbで割り切れる。 gcd(a,b)=1だから、問3の結果より、sがbで割り切れる。 したがって、整数vが存在してs=bvとなることがいえる。 c=as=abvとなるから、cはabで割り切れる。 問４ gcd(p,a)に注目する。 gcd(p,a)はpの約数である。pは素数だから、 gcd(p,a)=1あるいはpであることがいえる。 gcd(p,a)=pのとき このときaはp=gcd(a,p)で割り切れる。 よってp|aがいえる。 gcd(p,a)=1のとき p|abだから、問３よりp|bがいえる。 以上より、p|ab ⇒ p|a または p|b であることがいえた。