というわけで、

id:smoking186 さん情報によると、ω無矛盾性の話だったそうです。
というわけで、前原昭二著「数学基礎論入門」を少し読み直してみたんだけど、やっぱりこの辺の議論は難しくてわかんないや。昔自分で書いたメモ http://d.hatena.ne.jp/kikx/20070406 とか、今見てもさっぱり分からんし。

いなばさんの教えてくれたのは、なんか超準解析のアナロジーを基礎論でもやってみた結果みたいに見えるけど、どっちが先なのか後なのか調べてみないとな。そっからたどれるグッドスタインの定理（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%83%E3%83%89%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）はすごいね。こんなのどうやって思いつくんだろう…

2のn乗は自然数？

http://dain.cocolog-nifty.com/myblog/2008/01/post_35f2.html

　　　「2のn乗はいつも自然数になるとは限らない」
　　　これは正しいですか?

これが正しくないことを証明できないことに気づかされたとき、
ガーンとヤられる。さらに、その先の論理の限界まで言及され
たとき…ゲーデルが出てくるんだが、数学好きなら相当ショッ
クを受けるんじゃぁないかと。そんな読者を見越してか、書き
手はフォロー（というか開き直り?）を入れる。

というのを読んで、気になって立ち読みしてきました。

著者の書き方が非常に曖昧というか扇動的なので、上の方は読み間違えていますが、ここでは、

自然数の定義とその直感的イメージについての、ゲーデルの結果

我々がいかに自然数を定義しても、全く別のイメージをもった自然数が存在する。

を説明するための例として、「2のn乗」の話がでてきます。

ロジックに不慣れな(or 全く異なるロジックを持ってる)宇宙人に

2のn乗はつねに自然数である。

ということを証明しようとするが、

nが大きくなると自然数であることを示すのに、
莫大な資源が必要だから正しいかどうかわからない。

と反駁される。

これはあくまで例なので、地道に宇宙人を説得すればすむ問題であるが、ゲーデルによる上の結果があるので、全ての場合には不可能である。というのが著者のいいたいことらしい。

私はゲーデルが上のようなことを証明したと聞いたこともないので、さっぱり問題が何なのか分からない。
誰か知ってる人がいれば教えてください。