دترمینان

ایک $2\times 2$ میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]$ کا دترمینان یوں تعریف کیا جاتا ہے: $\ \det(A)=ad-bc$
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ دترمینان کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

دترمینان

ایک $3\times 3$ میٹرکس

$A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]$

کا دترمینان یہ ہو گا

$\det(A)=a_{0,0}a_{1,1}a_{2,2}+a_{0,1}a_{1,2}a_{2,0}+a_{0,2}a_{1,0}a_{2,1}-a_{0,2}a_{1,1}a_{2,0}-a_{0,1}a_{1,0}a_{2,2}-a_{0,0}a_{1,2}a_{2,1}$

اسی طرح ایک $n\times n$ میٹرکس A کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے

$\det(A)=\sum \pm a_{0,k_{0}}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}$

جہاں $\{k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n-1}\}$ ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد $\{0,1,\cdots ,n-1\}$ کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو $\ a_{i,j}$ ایک قطار سے نہ ہوں اور نہ دو $\ a_{i,j}$ ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں $\ n!$ رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں $\ n!$ سے مراد n کا عامَلیّہ ہے۔) یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ

تعریف: ایک $n\times n$ میٹرکس A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی $\ n-1\times n-1$ میٹرکس $\ A_{i,j}$ کو کہتے ہیں جو $\ n\times n$ میٹرکس کی i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔ انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&a_{0,3}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]$ کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے $A_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]$

تعریف: میڑکس A کے چھوٹے $A_{i,j}$ اور $2\times 2$ میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک $n\times n$ میٹرکس $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]$
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):
$\det(A)=a_{0,0}\det(A_{0,0})-a_{1,0}\det(A_{1,0})+\cdots +(-1)^{n}a_{n-1,0}\det(A_{n-1,0})$

مسلئہ اثباتی 1

میٹرکس جن کا سائیز $n\times n$ ہو،

• اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو $\alpha$ سے ضرب دے کر میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

$\ \det(B)=\alpha \det(A)$

• اگر میٹرکس A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

$\ \det(B)=-\det(A)$

• اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے اور اس نئی میٹرکس کو B کہا جائے تو:

$\ \det(B)=\det(A)$

• تطابق قالب کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:

$\ \det(I)=1$

• میٹرکس A کے اُلٹ کا دترمیناں

$\ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$

• میٹرکس A کے پلٹ کا دترمیناں

$\ \det(A^{t})=\det(A)$

• میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان

$\ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)$

مسلئہ اثباتی 2

میٹرکس جن کا سائیز $n\times n$ ہو،

• اگر کسی میٹرکس A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

$\ \det(A)=0$

• اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

$\ \det(A)=0$

مسلئہ اثباتی 3

میٹرکس جن کا سائیز $n\times n$ ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان: $\ \det(AB)=\det(A)\det(B)$

مسلئہ اثباتی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ، جہاں میٹرکس A کا سائیز $2\times 2$ ہے اور اس کا ہر جُز میدان $\mathbb {R}$ میں ہے۔ یہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE کو علاقہ f(E) میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکسA کے دترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:

${\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|$

(تصویر کے لیے دیکھو)

مسلئہ اثباتی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ، جہاں میٹرکس A کا سائیز $3\times 3$ ہے اور اس کا ہر جُز میدان $\mathbb {R}$ میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہE کو علاقہ f(E) میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکسA کے دترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی: ${\frac {\mathrm {Volume\ of\ } f(E)}{\mathrm {Volume\ of\ } E}}=|\det(A)|$

مزید دیکھیے

• سائیلیب help det

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات