Слід матриці

Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).

Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо $\ a_{ij}$ елементи матриці $\ A$, її слід дорівнює:

$\mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {Sp}} \;A=\sum _{i}a_{ii}.$

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: $\mathop {\rm {tr}} \;A$ (трейс, від англ. Trace — слід), і $\mathop {\rm {Sp}} \;A$ (шпур, від нім. Spur — слід).

Властивості

• Лінійність

$\mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \;\mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \;\mathop {\rm {tr}} \;B$

• Циклічність

$\mathop {\rm {tr}} \;(AB)=\mathop {\rm {tr}} \;(BA)$,

$\mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)$

$\mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {tr}} \;A^{T}$,

де T означає операцію транспонування.

• Слід подібних матриць однаковий

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (APP^{-1})=\operatorname {tr} (A)$

• Якщо $A\otimes B$ добуток Кронекера матриць A та B, то

$\mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)$

• Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.

• $f({\rm {trA)=\mathop {\rm {tr}} \;(f(A)).}}$

Внутрішній добуток

Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A^* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність

$\operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0$

яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли $A=0$. Присвоєння

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)$

дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.

Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.

Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність

$0\leq [\operatorname {tr} (AB)]^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq [\operatorname {tr} (A)]^{2}[\operatorname {tr} (B)]^{2}$

Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.

Див. також

• Теорія матриць
• Визначник матриці
• Ранг матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)