Jälg (lineaaralgebra)

Ruutmaatriksi jälg on selle maatriksi peadiagonaali elementide summa:

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$,

kus $a_{ij}$ tähistab maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus asuvat A elementi.

Maatriksi jälg ei sõltu baasi valikust. Seetõttu saab defineerida lineaarteisenduse jälje kui lineaarteisendusele vastava maatriksi jälje. Iga lineaarteisenduse jaoks pole võimalik jälge defineerida.

Omadused

• Jälg on lineaarne teisendus, mis teisendab maatriksi skalaariks:

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$,

$\operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)$,

kus c on skalaar.

• Jälg on invariantne selle argumendi tegurite tsükliliste permutatsioonide suhtes:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$

ehk üldiselt

$\operatorname {tr} (A_{1}A_{2}...A_{n})=\operatorname {tr} (A_{k+1}A_{k+2}...A_{k})$.

• Jälg on invariantne transponeerimise suhtes:

$\operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)$

• Jälg on invariantne sarnasusteisenduste suhtes:

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} ((AP)P^{-1})=\operatorname {tr} (A)$

• Viimasest seosest ja sellest, et igal maatriksil on Jordani normaalkuju, tuleneb, et jälg on maatriksi omaväärtuste summa.

$\operatorname {tr} A=\sum \lambda _{i}$,

kus $\lambda _{i}$ on A omaväärtused.

• Seos jälje ja determinandi vahel:

$\det(\operatorname {exp} (A))=\operatorname {exp} (\operatorname {tr} (A))$,

kus exp on eksponentfunktsioon.

• kui A ja B on positiivsed osaliselt määratud maatriksid, siis

$0\leq \mathrm {tr} (AB)^{n}\leq \mathrm {tr} (A)^{n}\mathrm {tr} (B)^{n}.\,$.

Vaata ka

• Maatriks
• Determinant