Fibonaccipolynom

Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som kan ses som en generalisering av Fibonaccital och definieras av

$F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=1\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=2\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{om }}n\geq 3\end{matrix}}\right.$

De första fibonaccipolynomen är:

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Värdet av det n:te fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te fibonaccitalet.

Identiteter

Några identiteter för Fibonaccipolynomen är

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}.\,$

Fibonaccipolynomen kan skrivas i sluten form som

$F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}}$

där

$\alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}\,$

är lösningarna (i t) av

$t^{2}-xt-1=0.\,$

Genererande funktion

$\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}$

Se även

• Lucaspolynom