Provat matematikore

Një provë matematikore është një argument inferential për një deklaratë matematikore. Në argument, mund të përdoren deklarata të tjera të mëparshme, të tilla si teorema. Në parim, një provë mund të gjurmohet pas deklaratave të vetëkuptueshme ose të supozuara, të njohura si aksioma,,^[2]^[3]^[4] së bashku me rregullat e pranuara të përfundimit. Aksiomat mund të trajtohen si kushte që duhet të plotësohen para se të zbatohet deklarata. Dëshmitë janë shembuj të arsyetimit deduktiv shterues ose arsyetim induktiv dhe dallohen nga argumentet empirike ose arsyetimet indirekte (ose "pritjet e arsyeshme"). Një dëshmi duhet të tregojë se një deklaratë është gjithmonë e vërtetë (herë pas here duke renditur të gjitha rastet e mundshme dhe duke treguar se ajo mban në secilën), në vend që të numërojë shumë raste konfirmuese. Një propozim i pa provuar që besohet të jetë i vërtetë është i njohur si një hamendje.

Provat përdorin logjikën por zakonisht përfshijnë disa sasi të gjuhës natyrore që zakonisht pranojnë disa paqartësi. Në fakt, shumica dërrmuese e provave në matematikë të shkruar mund të konsiderohen si aplikacione të logjikës rigoroze joformale. Prova të pastra, të shkruara në gjuhë simbolike në vend të gjuhës natyrore, konsiderohen në teorinë e provës. Dallimi në mes të provave formale dhe joformale ka çuar në shqyrtimin më të madh të praktikës matematikore aktuale dhe historike, kuazi-empiricizmit në matematikë dhe të ashtuquajturës matematikë popullore (në të dyja aspektet e atij termi). Filozofia e matematikës është e lidhur me rolin e gjuhës dhe logjikës në prova, dhe matematika si një gjuhë.

Historia dhe etimologjia

Fjala ""proof" vjen nga gjurma latine që do të thotë "për të provuar".^[5]

Argumentet e besueshmërisë duke përdorur pajisje heuriste si piktura dhe analogji, i paraprijnë provës matematikore të rreptë. Zhvillimi i provave matematikore është kryesisht produkt i matematikës greke të lashtë dhe një nga arritjet më të mëdha të saj. Thales (624-546 pes) dhe Hipokrati i Kios (rreth 470-410 pes) provuan disa teorema në gjeometri. Eudoksi (408-355 pes) dhe Theaetetus (417-369 pes) formuluan teorema por nuk i provuan ato. Aristoteli (384-322 pes) tha se përkufizimet duhet të përshkruajnë konceptin që përkufizohet në terma të koncepteve të tjera të njohura. Provat matematikore u revolucionarizuan nga Euklidi (300 pes), i cili prezantoi metodën axiomatike ende në përdorim sot, duke filluar me terma dhe indekse të padefinuara (propozimet lidhur me kushtet e padefinuara që supozohet të jenë të dukshme nga "axios" grekë që do të thotë "diçka e denjë "), dhe i përdori këto për të provuar teorema duke përdorur logjikën deduktive. Libri i tij, Elementet, u lexua nga të gjithë ata që konsideroheshin të arsimuar në Perëndim deri në mesin e shekullit të 20-të.^[6] Përveç teoremave të gjeometrisë, të tilla si Teorema e Pitagorës, elementët gjithashtu mbulojnë teorinë e numrave, duke përfshirë një provë se rrënja katrore e dy është e paarsyeshme dhe se ka numra pafundësisht të lartë.

Përparime të mëtejshme u zhvilluan në matematikën islame mesjetare. Ndërsa provat më të hershme greke ishin kryesisht demonstratat gjeometrike, zhvillimi i matematikanëve aritmetikë dhe algjebër nga matematikanët islamë lejoi prova më të përgjithshme që nuk vareshin më nga gjeometria. Në shekullin e 10-të të es, matematikan irakian Al-Hashimi dha prova të përgjithshme për numrat (në vend të demonstrimeve gjeometrike) pasi ai e konsideronte shumëzimin, ndarjen, etj. Për "linjat". Ai e përdori këtë metodë për të siguruar një provë të ekzistencës së numrave të paarsyeshëm.^[7] Një provë induktive për sekuencat aritmetike u prezantua në Al-Fakhri (1000) nga Al-Karaji, i cili e përdori atë për të provuar teoremen binomiale dhe pronat e trekëndëshit Pascal. Alhazen gjithashtu zhvilloi metodën e provës nga kontradiktat, si përpjekja e parë për të provuar postulat paralele euklidiane.^[8]

Teoria e provave moderne trajton provat si struktura të të dhënave të definuara induktivisht. Nuk ekziston më një supozim se aksiomat janë "të vërteta" në çdo kuptim; kjo lejon për teoritë paralele matematikore të ndërtuara në grupe alternative të aksiomave.

Natyra dhe qëllimi

Siç praktikohet, një dëshmi shprehet në gjuhën natyrore dhe është një argument i rreptë që ka për qëllim bindjen e publikut për të vërtetën e një deklarate. Standardi i ashpërsisë nuk është absolut dhe ka ndryshuar gjatë gjithë historisë. Një dëshmi mund të paraqitet ndryshe në varësi të audiencës së synuar. Për të fituar pranimin, një provë duhet të përmbushë deklaratat komunale të ashpërsisë; një argument që konsiderohet i paqartë ose i paplotë mund të refuzohet.

Koncepti i një prove është formalizuar në fushën e logjikës matematikore. ^[9] Një provë formale shkruhet në një gjuhë formale në vend të një gjuhe natyrore. Një provë formale përkufizohet si renditje e formulave në një gjuhë formale, në të cilën secila formulë është një pasojë logjike e formulave të mëparshme. Duke pasur një përkufizim të provës formale, koncepti i provës është i përshtatshëm për të studiuar. Në të vërtetë, fusha e teorisë së provës studion provat formale dhe pronat e tyre, për shembull, pasurinë që një deklaratë ka një provë formale. Një aplikim i teorisë së provave është të tregojë se disa deklarata të padisponueshme nuk janë provable.

Përcaktimi i një prove formale synon të kapë konceptin e provave siç shkruhet në praktikën e matematikës. Qëndrueshmëria e këtij përkufizimi përbën besimin se një provë e botuar, në parim, mund të shndërrohet në një provë formale. Megjithatë, jashtë fushës së asistentëve të automatizuar të provës, kjo rrallë bëhet në praktikë. Një pyetje klasike në filozofi pyet nëse provat matematikore janë analitike ose sintetike. Kanti, i cili prezantoi dallimin analitiko-sintetik, besonte se provat matematikore janë sintetike.

Provat mund të shihen si objekte estetike, të admiruara për bukurinë e tyre matematikore. Matematiku Paul Erdös ishte i njohur për përshkrimin e provave që ai gjeti veçanërisht elegante, që vjen nga "The Book", një tezë hipotetike që përmban metodën më të bukur për të provuar secilin teoremë. Libri Proofs from THE BOOK, i botuar në vitin 2003, është i përkushtuar për të paraqitur 32 prova që redaktorët e tij gjejnë veçanërisht të këndshme.

Referime

^ Bill Casselman. "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid". University of British Columbia. Marrë më 26 shtator 2008. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. p. 3.
^ Gossett, Eric (korrik 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. fq. 86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1. Proof: An Informal Definition {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.
^ Eves, Howard W. (janar 1990) [1962]. An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (bot. 6th). Brooks/Cole. fq. 141. ISBN 978-0030295584. No work, except The Bible, has been more widely used... {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, marrë më 23 janar 2008 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", përmbledhur nga Buss, Samuel R. (red.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vëll. 137, Elsevier, fq. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!). See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[1] Bill Casselman. "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid". University of British Columbia. Marrë më 26 shtator 2008. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[nutsandbolts-3] Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. p. 3.

[4] Gossett, Eric (korrik 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. fq. 86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1. Proof: An Informal Definition {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[5] "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.

[6] Eves, Howard W. (janar 1990) [1962]. An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (bot. 6th). Brooks/Cole. fq. 141. ISBN 978-0030295584. No work, except The Bible, has been more widely used... {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[7] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[8] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, marrë më 23 janar 2008 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[9] Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", përmbledhur nga Buss, Samuel R. (red.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vëll. 137, Elsevier, fq. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!). See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]