Ciklična simetrija v treh razsežnostih

Točkovne grupe v treh razsežnostih

involucijska simetrija Cs, [1], (*)	ciklična simetrija Cnv, [n], (*nn)	diedrska simetrija Dnh, [n,2], (*n22)
poliedrska grupa, [n,3], (*n32)
tetraedrska simetrija Td, [3,3], (*332)	oktaedrska simetrija Oh, [4,3], (*432)	ikozaedrska simetrija Ih, [5,3], (*532)

Ciklična simetrija v treh razsežnostih spada med neskončno skupino točkovnih grup v treh razsežnostih (n≥1) z n-kratno vrtilno ali zrcalno simetrijo okrog ene osi, za kot 360°/n, ki ne spremenijo objekta.

Spadajo med končne simetrijske grupe na stožcu. Za n = &infin odgovarjajo štirim frizijskim grupam. Uporablja naj se Schönfliesovo notacijo. Izrazi horizontalno (h) in vertikalno (v) se uporabljajo za prikaz obstoja in smeri zrcaljenja glede na horizontalno os simetrije. Prikazana je tudi Coxeterjeva notacija in v oklepajih notacija orbifold.

Kiralni:

• C_n, [n]⁺, (nn) of order n – n z redom n, kjer je n n-kratna vrtilna simetrija, kar je abstraktna grupa C_n. Za n=1 ni simetrije, kar pomeni, da je to trivialna grupa.

• Akiralni:

• C_nh, [n⁺,2], (n*) reda 2n – prizmatična simetrija. To pa je abstraktna grupa C_n x C₂. Za n=1 to označujemo s C_s (1*) in to imenujemo zrcalna simetrija ter tudi bilateralna simetrija. Ima zrcalno simetrijo glede na ravnino, ki je pravokotna na n-kratno vrtilno os.
• C_nv, [n], (*nn) reda 2n – piramidna simetrija (abstraktna grupa D_n) v biologiji se imenuje C_2v biradialna simetrija. Za n=1 imamo zopet n=1 C_s (1*). Ima navpične (horizontalne) zrcalne ravnine. To je simetrijska grupa n-strane piramide.
• S_2n, [2⁺,2n⁺], (n×) reda 2n. Pri tem pa ne smemo zamenjati z simetrično grupo za katero se uporablja isti način označevanja, to je abstraktna grupa C_2n. Za n=1 imamo S₂ (1×)

C_2h (2*) in C_2v (*22) reda 4 sta dve od treh trirazsežnih simetrijskih grup Kleinova štiri grupa kot abstraktne grupe. C_2v se uporablja npr. kot pravokotne ploščice, ki imajo zgornji del različen od spodnjega.

Zgledi

S2/Ci (1x):	C4v (*44):		C5v (*55):
paralelepiped	kvadratna piramida	podaljšana kvadratna piramida	petstrana piramida

IUC pomeni International Union of Crystallography ali Mednarodna zveza za kristalografijo.

Frizijske grupe

frizijske grupe

notacije				zgledi
IUC	orbifold	Coxeter	Schönflies*	evklidska ravnina	cilindrični (n=6)
p1	∞∞	[∞]+	C∞
p1m1	*∞∞	[∞]	C∞v
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h
p11g	∞×	[∞+,2+]	S∞

IUC pomeni International Union of Crystallography ali Mednarodna zveza za kristalografijo.

Viri

• Sands, Donald E. (1993). »Crystal Systems and Geometry«. Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. str. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoskop: Selected Writings of Harold Scott MacDonald Coxeter, izdali so F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• Norman Johnson (matematik): Geometries and Transformations, Manuscript, (2011) Chapter 11: Končne simetrijske grupe