Mnohočlen

Mnohočlen alebo polynóm je súčet alebo rozdiel jednočlenov.

Je to výraz v tvare

$p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$,

kde $a_{n}\neq 0$. Čísla $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ sa nazývajú koeficienty polynómu.

Funkciu $P$ dvoch premenných $x\in R,y\in R$ označíme ako polynóm, ak existujú prirodzené čísla $n,m$ a konštanty $a_{ij}$ také, že platí

$P(x,y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j}$

Stupeň polynómu

Stupeň polynómu p(x) je najvyšší exponent x s nenulovým koeficientom. Nulový polynóm p(x) = 0 sa niekedy označuje ako polynóm stupňa −1. Stupeň polynómu sa niekedy označuje deg p(x).

Súčin a súčet polynómov

Nech sú dané polynómy v zmysle vyššie uvedenej definície: $p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ $g(x)=\sum _{i=0}^{n}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}$

Súčet polynómov je definovaný (pre $n\leq m$) $f(x)+g(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+...+(a_{n}+b_{n})x^{n}+b_{n+1}x^{n+1}+...+b_{m}x^{m}$,

Súčin polynómov je definovaný $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+...+a_{n}b_{m}x^{n+m}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{j}b_{j}x^{i+j}$

Koreň polynómu

Číslo $\alpha$ sa nazýva koreň polynómu $p(x)$, ak platí

$p(\alpha )=0$

Táto skutočnosť, spoločne so základnou vetou algebry, sa využíva pri riešení algebraických rovníc.

Léma

Nech $c$ je číslo a nech $z$ je zvyšok po delení $f(x)$ polynómom $x-c$. Potom $z=f(c)$.

Dôsledok

Polynóm $f(x)$ je delitelný polynómom $x-c$ práve vtedy, keď $c$ je koreň polynómu $f(x)$.

Príklady polynómov

• $p(x)=0$ je tzv. nulový polynóm, teda polynóm, ktorý má všetky koeficienty nulové, čiže $a_{i}=0,i=0,1,2,...$
• $p(x)=4$ je polynóm nultého stupňa (konštanta)
• $p(x)=2x+3$ je polynóm 1. stupňa (lineárny polynóm)
• $p(x)=3x^{2}+2x-2$ je polynóm 2. stupňa (kvadratický polynóm)
• $p(x)=3x^{3}-8x$ je polynóm 3. stupňa (kubický polynóm)

Externé odkazy

• Kalkulačka pre výpočet reálnych koreňov polynómu