Grupa (matematika)
Tomuto článku alebo sekcii chýbajú odkazy na spoľahlivé zdroje, môže preto obsahovať informácie, ktoré je potrebné ešte overiť. Pomôžte Wikipédii a doplňte do článku citácie, odkazy na spoľahlivé zdroje. |
Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.
Základné vysvetlenie
[upraviť | upraviť zdroj]Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:
- Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
- Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
- Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.
Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.
Základné príklady
[upraviť | upraviť zdroj]- Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
- Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
- Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
- Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.
Definícia
[upraviť | upraviť zdroj]- Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“
Grupa (G, ) je usporiadaná dvojica, kde G je neprázdna množina a je binárna operácia na tejto množine, pričom
- operácia je na G asociatívna, t. j. ,
- existuje tzv. neutrálny prvok s vlastnosťou ,
- ku každému prvku existuje inverzný prvok taký, že .
Ak je binárna operácia navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.
Ďalšie vlastnosti
[upraviť | upraviť zdroj]- V grupe platia zákony o krátení:
- V grupe majú riešenie všetky rovnice typu
pre všetky
Podgrupy
[upraviť | upraviť zdroj]Grupa sa nazýva podgrupou grupy , ak je podmnožinou a platí .
Neprázdna podmnožina H grupy tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.
- Pre ľubovoľné platí .
- Pre ľubovoľné platí .
Ak H je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.[1]
Ďalšie príklady
[upraviť | upraviť zdroj]- množina celých čísel s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu , ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
- množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia tvorí grupu , ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
- všeobecnejšie, pre ľubovoľné pole F je množina s operáciou násobenia grupou. (Je to multiplikatívna grupa poľa F.)
- dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried s operáciou a s operáciou (ak n je prvočíslo),
- ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
- všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n! (n faktoriál)
Externé odkazy
[upraviť | upraviť zdroj]Literatúra
[upraviť | upraviť zdroj]- DUMMIT, Richard M.; FOOTE, David S.. Abstract algebra. 3. vyd. Bratislava : John Wiley and Sons, Inc., 2004.
- KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.
Referencie
[upraviť | upraviť zdroj]- ↑ Dummit a Foote 2001, Proposition 2.1, s. 46