Dëse Mathematiksartikel Skizz FAQ eran.
Eng Grupp ass an der Algeber eng algebresch Struktur , déi Symmetrien a reversibel Transformatiounen duerstellt.
Eng Grupp ass eng Koppel
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
Ensembel
G
{\displaystyle G}
Operatioun
∗
{\displaystyle *}
G
{\displaystyle G}
∗
:
{
G
×
G
→
G
,
(
a
,
b
)
↦
a
∗
b
,
{\displaystyle *\colon \,{\begin{cases}G\times G&\to &G,\\(a,b)&\mapsto &a*b,\end{cases}}}
déi follgend Axiomer erfëllt:
Fir all
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
∈
G
{\displaystyle c\in G}
(
a
∗
b
)
∗
c
=
a
∗
(
b
∗
c
)
{\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}
[ 1]
(Assoziativitéit)
Et gëtt en neutraalt Element
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
a
∗
e
=
e
∗
a
=
a
{\displaystyle a*e=e*a=a}
[ 2]
(Existenz vum neutralen Element)
Fir all
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
inverst Element
a
−
1
∈
G
{\displaystyle a^{-1}\in G}
a
∗
a
−
1
=
a
−
1
∗
a
=
e
{\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}
[ 3]
(Existenz vum inversen Element)
Eng Grupp ass also e Monoid , an deem all Element en Inverse huet.
Eng Grupp heescht abelsch oder och kommutativ , wa se zousätzlech zu den uewe genannten Axiomer nach déi follgend Bedéngung erfëllt:
a
{\displaystyle a}
b
∈
G
{\displaystyle b\in G}
a
∗
b
=
b
∗
a
{\displaystyle a*b=b*a}
(Kommutativitéit)
Am anere Fall, d. h. wann et Elementer
a
{\displaystyle a}
b
∈
G
{\displaystyle b\in G}
a
∗
b
≠
b
∗
a
{\displaystyle a*b\neq b*a}
net-abelsch respektiv net-kommutativ genannt.
↑ Dowéinst kann een d'Klamere fortloossen:
a
∗
b
∗
c
:=
(
a
∗
b
)
∗
c
{\displaystyle a*b*c:=(a*b)*c}
↑ Dat neutraalt Element ass automatesch eendeiteg, well wann
f
{\displaystyle f}
f
=
f
∗
e
=
e
.
{\displaystyle f=f*e=e.}
↑ Den Inverse ass och eendeiteg, well wa
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
b
=
b
∗
e
=
b
∗
(
a
∗
a
−
1
)
=
(
b
∗
a
)
∗
a
−
1
=
e
∗
a
−
1
=
a
−
1
.
{\displaystyle b=b*e=b*(a*a^{-1})=(b*a)*a^{-1}=e*a^{-1}=a^{-1}.}
