Индекс Тейла

Индекс Тейла представляет собой показатель измерения социального неравенства, предложенный в 1967 году нидерландским экономистом Анри Тейлом^[1]. Индекс Тейла основан на предложенном Шенноном понятии информационной энтропии. В отличие от коэффициента Джини индекс Тейла разложим, то есть, если популяция разбита на группы, то индекс Тейла всей популяции можно записать в виде взвешенной суммы индексов Тейла каждой из групп и показателя социального неравенства между группами. Разложимость индекса Тейла позволяет говорить о проценте социального неравенства, объяснимого заданным разбиением популяции на группы, и сравнивать различные разбиения^[2].

Расчёт индекса Тейла

Индексы Тейла $T_{1}$ и $T_{0}$ рассчитываются по следующим формулам^[3]:

T_{1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\cdot \ln {\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\right)

T_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}\right)

где $x_{i}$ доход $i$ -го индивидуума, ${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$ среднее значение дохода, и $N$ количество индивидуумов в популяции. Если доходы всех индивидуумов равны, то индексы Тейла равны нулю. Если доход всей популяции сконцентрирован в руках одного индивидуума, то индексы Тейла равны ln N. Иногда в литературе индексом Тейла называется только индекс $T_{1}$ , в то время как $T_{0}$ называется среднелогарифмическим отклонением^[4]. Среднелогарифмическое отклонение чувствительно к изменениям у нижней границы шкалы распределения, в то время как индекс Тейла одинаково чувствителен к изменениям по всей шкале распределения^[5].

Разложимость индекса Тейла

Если популяция разбита на группы $G_{1},...,G_{J}$ , то индекс Тейла можно записать как

T=\sum _{j=1}^{J}\omega _{j}*T(G_{j})+T(\{y_{1},...,y_{J}\}),

где $\omega _{j}={\frac {N_{j}}{N}}{\frac {y_{j}}{\overline {x}}}$ , $y_{j}$ — среднее значение дохода в группе $G_{j}$ , ${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$ среднее значение дохода во всей популяции, $N_{j}$ — количество индивидуумов в группе $G_{j}$ и $N$ — количество индивидуумов в популяции^[2]. Отношение ${\frac {T(\{y_{1},...,y_{J}\})}{T}}$ — процент социального неравенства, объяснимый заданным разбиением на группы. Так, по 32,6 % неравенства уровней расходов в Индонезии может быть объяснено уровнем образования главы семьи, 18,9 % провинцией проживания и только 2,6 % гендером главы семьи^[6].

Математические особенности индекса Тейла

Индекс Тейла инвариантен по отношению к умножению, то есть, он не изменяется при девальвации. Индекс Тейла не инвариантен по отношению к сложению.