Índice de Theil

O Índice de Theil é uma medida estatística da distribuição de renda. O índice de Theil é dado pelo logaritmo neperiano da razão entre as médias aritméticas e geométricas da renda familiar per capita média. Se a razão entre as médias for igual a 1, Theil será igual a zero, indicando perfeita distribuição. Quanto maior a razão entre as médias, maior será o valor para o índice de Theil, e pior será a distribuição de renda

O índice de Theil é dado pela seguinte formula: Theil = 1 - exp(-R). Este valor esta entre 0 e 1 e quanto maior este valor, pior a distribuição. O Índice de Theil, calculado por Theil em 1967 , é baseado no conceito de entropia de uma distribuição. Entre suas qualidades enumeram-se que é simétrico (tem a propriedade de invariância em caso de permuta de indivíduos), é invariante à replicação (é independente de replicações de população), independente da média (tem a propriedade de ser invariante em caso de alteração da escala da renda), e satisfaz o Princípio de Pigou-Dalton (a desigualdade cresce como resultado de transferências regressivas). Inclusive países do G8+5, como Estados Unidos estão sendo descritos como altamente desiguais.

Matemática

As fórmulas para os indices T e L são

$T_{T}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\cdot \ln {\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\right)$

$T_{L}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}\right)$

onde $x_{i}$ é a renda da $i$-ésima pessoa, ${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$ é a renda média, e $N$ é a quantidade de pessoas. O primeiro termo dentro da soma pode ser considerada a fatia do indivíduo na renda agregada, e o segundo termo indica a renda desta pessoa em relação à média. Se todos os indivíduos tiverem a mesma renda - ou seja, na média - o índice é 0. Se uma pessoa tem toda a renda, o índice é $lnN$.

O índice de Theil é derivado da medida de entropia de uma distribuição de Claude Shannon. Se é o T é o Índice de Theil, e S é a medida de entropia de uma distribuição de Claude Shannon

$T=\ln(N)-S.\,$

Ver também

• Curva de Lorenz
• Coeficiente de Gini
• Índice de Desenvolvimento Humano

Bibliografia

• THEIL, H. (1967). Economics and information theory. North-Holland: Amsterdam.
• ROGERS, F. H. The Measurement and Decomposition of Achievement Equity. Unpublished doctoral dissertation. Columbus, Ohio: Ohio State University  http://www.ohiolink.edu/etd/send-pdf.cgi?acc_num=osu1092419197 
• DALTON, H. The measurement of the inequality of incomes, Economic Journal, 30 (1920), pp. 348–461.
• PIGOU, Arthur Cecil. Wealth and Welfare, 1912.
• SEN, A.K. (1973), On Economic Inequality, Oxford University Press, London.