Paraboloid

Paraboloidul este o suprafață cuadrică. Secțiunile sale plane (intersecția paraboloidului cu un plan oarecare) pot fi elipse sau hiperbole, de unde și clasificarea; paraboloizi eliptici și paraboloizi hiperbolici.

O caracteristică a paraboloidului este și faptul că nu are un centru de simetrie.

Paraboloid eliptic

Un paraboloid este eliptic dacă secțiunile perpendiculare pe axa sa de simetrie sunt elipse.

Într-un sistem de referință tridimensional cu originea în vârful paraboloidului, ecuația sa este de forma^[1]:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0

În cazul particular $a=b$ , paraboloidul eliptic se numește „paraboloid circular” sau „paraboloid de rotație”.

Formula volumului unui corp format dintr-un paraboloid eliptic circular mărginit de un plan perpendicular pe axa de simetrie este^[2]^[3]:

V=1/2\pi \cdot b^{2}\cdot a

unde a este lungimea axei de simetrie de la vârful paraboloidului până la planul bazei, iar b este raza cercului de intersecție a paraboloidului cu planul bazei.

Paraboloid hiperbolic

Într-un sistem de referință tridimensional potrivit ales, ecuația paraboloidului hiperbolic este de forma:^[4]^[5]

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0,

Forma particulară a acestei suprafețe i-a adus supranumele „șa de cal”, sau „șa de călărie”. În ilustrația alăturată, este reprezentată, pentru $x$ și $y$ cuprinse între –1 și 1, suprafața de ecuație $z=x^{2}-y^{2}\,\!$ . Se pot observa hiperbolele „orizontale” (cu galben) care degenerează în drepte secante pentru $z=0\,\!$ , și parabolele „verticale” (cu violet).

Note

^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7.
^ „Paraboloid - Volume”, Vcalc.com, accesat în 28 februarie 2019
^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7.
^ Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 896. ISBN 0-321-18558-7.

Lectură suplimentară

Jacques Hadamard, Lecții de geometrie elementară. Geometrie în spațiu, Editura Tehnică, București, 1961

Legături externe

Commons

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Paraboloid

[1] Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7.

[2] „Paraboloid - Volume”, Vcalc.com, accesat în 28 februarie 2019

[3] Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7.

[Weisstein-4] Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html

[5] Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 896. ISBN 0-321-18558-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]