Módulo de Young

O Módulo de Young é uma propriedade mecânica que mede a rigidez de um material sólido. Define a relação entre tensão (força por unidade de área) e deformação (deformação proporcional) em um material no regime de elasticidade linear de uma deformação uniaxial.

O módulo de Young tem o nome do cientista britânico do século XIX Thomas Young. No entanto, o conceito foi desenvolvido em 1727 por Leonhard Euler, e os primeiros experimentos que usaram o conceito de módulo de Young em sua forma atual foram realizados pelo cientista italiano Giordano Riccati em 1782, pré-datando a obra de Young em 25 anos.^[1] O termo módulo é derivado do termo de raiz latino modus, que significa módulo.

Definição

Elasticidade linear

Um material sólido sofrerá deformação elástica quando uma pequena carga é aplicada a ele em compressão ou tração. A deformação elástica é reversível (o material retorna à sua forma original após a remoção da carga).^[2]

No estresse e tensão quase zero, a curva de tensão-deformação é linear, e a relação entre tensão e deformação é descrita pela lei de Hooke, que afirma que o estresse é proporcional à deformação. O coeficiente de proporcionalidade é o módulo de Young. Quanto mais alto o módulo, mais estresse é necessário para criar a mesma quantidade de deformação; um corpo rígido idealizado teria um módulo de Young infinito.

Não muitos materiais são lineares e elásticos além de uma pequena quantidade de deformação.

Fórmula e unidades

\mathrm {E} =\sigma /\epsilon

, em que

\mathrm {E}

é o módulo de Young;

\sigma

é o estresse uniaxial, ou força uniaxial por superfície unitária;

\epsilon

é a deformação, ou deformação proporcional (mudança no comprimento dividido pelo comprimento original), sendo adimensional.

Tanto $\mathrm {E}$ quanto $\sigma$ têm unidades de pressão, enquanto $\epsilon$ é adimensional. Os módulos de Young são tipicamente tão grandes que são expressos não em pascal mas em megapascais (MPa ou N/mm²) ou gigapascais (GPa ou kN/mm²).^[3]

Uso

O módulo de Young permite o cálculo da mudança na dimensão de uma barra feita de um material elástico isotrópico sob cargas de tração ou compressão. Por exemplo, prevê o quanto uma amostra de material se estende sob tração ou encurta sob compressão. O módulo de Young se aplica diretamente a casos de estresse uniaxial, isto é, tensão de tração ou compressão em uma direção e nenhum estresse nas outras direções. O módulo de Young também é usado para prever a deflexão que ocorrerá em um feixe estaticamente determinado quando uma carga é aplicada em um ponto entre os suportes do feixe. Outros cálculos elásticos geralmente requerem o uso de uma propriedade elástica adicional, como o módulo de cisalhamento, o módulo de volume ou a razão de Poisson. Quaisquer dois desses parâmetros são suficientes para descrever completamente a elasticidade em um material isotrópico.

Linear versus não linear

O módulo de Young representa o fator de proporcionalidade na lei de Hooke,^[4] que relaciona o estresse e a tensão. No entanto, a lei de Hooke só é válida sob a hipótese de uma resposta elástica e linear. Qualquer material real acabará por falhar e quebrar quando esticado por uma distância muito grande ou com uma força muito grande; no entanto, todos os materiais sólidos exibem um comportamento quase hookeano para esforços pequenos o suficiente. Se o intervalo ao longo do qual a lei de Hooke é válida é grande o suficiente em comparação com a tensão típica que se espera aplicar ao material, diz-se que o material é linear. Caso contrário (se o estresse típico se aplicasse está fora do intervalo linear), o material é dito não linear.

Aço, fibra de carbono e vidro, entre outros, são geralmente considerados materiais lineares, enquanto outros materiais, como borracha e solos, são não-lineares. No entanto, esta não é uma classificação absoluta: se forem aplicadas tensões ou deformações muito pequenas a um material não linear, a resposta será linear, mas se uma tensão ou tensão muito alta for aplicada a um material linear, a teoria linear não será o suficiente. Por exemplo, como a teoria linear implica reversibilidade, seria absurdo usar a teoria linear para descrever a falha de uma ponte de aço sob alta carga; embora o aço seja um material linear para a maioria das aplicações, não é um caso de falha catastrófica.

Na mecânica sólida, a inclinação da curva tensão-deformação em qualquer ponto é chamada de módulo tangente. Ele pode ser determinado experimentalmente a partir da inclinação de uma curva de tensão-deformação criada durante testes de tração realizados em uma amostra do material.

Materiais direcionais

O módulo de Young nem sempre é o mesmo em todas as orientações de um material. A maioria dos metais e cerâmicas, juntamente com muitos outros materiais, são isotrópicos e suas propriedades mecânicas são as mesmas em todas as orientações. Entretanto, metais e cerâmicas podem ser tratados com certas impurezas, e os metais podem ser mecanicamente trabalhados para tornar suas estruturas de grãos direcionais. Estes materiais então se tornam anisotrópicos e o módulo de Young mudará dependendo da direção do vetor de força. A anisotropia pode ser vista em muitos compostos também. Por exemplo, a fibra de carbono tem um módulo de Young muito mais alto (é muito mais rígido) quando a força é carregada paralelamente às fibras (ao longo do grão). Outros materiais desse tipo incluem madeira e concreto armado. Engenheiros podem usar este fenômeno direcional em sua vantagem na criação de estruturas.

Cálculo

O módulo de Young E, pode ser calculado dividindo-se a tensão de tração, $\sigma (\epsilon )$ , pela deformação extensional de engenharia, $\epsilon$ , em a porção elástica (inicial, linear) da curva física tensão-deformação:

$\mathrm {E} =\sigma (\epsilon )/\epsilon =\left\lceil {\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {FL_{0}}{A\Delta L}}\right\rceil$

Onde

E é o módulo de Young (módulo de elasticidade);

F é a força exercida sobre um objeto sob tensão;

A é a área real da seção transversal, que é igual à área da seção transversal perpendicular à força aplicada;

ΔL é a quantidade pela qual o comprimento do objeto muda (ΔL é positivo se o material é esticado e negativo quando o material é comprimido);

L_{0}

é o comprimento original do objeto.

Força exercida por material esticado ou contraído

O módulo de Young de um material pode ser usado para calcular a força que ele exerce sob tensão específica.

F=EA\Delta L/L_{0}

onde F é a força exercida pelo material quando contraído ou esticado por $\Delta L$ .

A lei de Hooke para um fio esticado pode ser derivada desta fórmula:

F=({EA \over L_{0}})\Delta L=kx

Sobre a saturação

k={EA \over L_{0}}

e

x=\Delta L

Mas note que a elasticidade das molas helicoidais vem do módulo de cisalhamento, não do módulo de Young.

Energia potencial elástica

A energia potencial elástica armazenada em um material elástico linear é dada pela integral da lei de Hooke:

U_{e}=\int kxdx={\frac {1}{2}}kx^{2}

Agora explicando as variáveis intensivas:

U_{e}=\int {EA\Delta L \over L_{0}}d\Delta L={EA \over L_{0}}\int \Delta Ld\Delta L={EA\Delta L^{2} \over 2L_{0}}

Isto significa que a densidade de energia potencial elástica (isto é, por unidade de volume) é dada por:

{U_{E} \over AL_{0}}={E\Delta L \over 2L_{0}^{2}}

Ou, em uma notação simples, para um material elástico linear: $u_{e}(\epsilon )=\int \mathrm {E} \epsilon d\epsilon \neq {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \epsilon ^{2}$ , uma vez que a distensão está definida $\epsilon ={\Delta L \over L_{0}}$

Em um material elástico não-linear, o módulo de Young é uma função da deformação, de modo que a segunda equivalência não mais se sustenta e a energia elástica não é uma função quadrática da deformação:

u_{e}(\epsilon )=\int \mathrm {E} \epsilon d\epsilon \neq {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \epsilon ^{2}

Relação entre constantes elásticas

Para materiais isotrópicos homogêneos, existem relações simples entre constantes elásticas (módulo de Young E, módulo de cisalhamento G, módulo de massa K e razão de Poisson ν) que permitem calculá-las todas, desde que duas sejam conhecidas:

E=2G(1+v)=3K(1-2v)

Dependência de temperatura

O módulo de Young dos metais varia com a temperatura e pode ser realizado através da mudança na ligação interatômica dos átomos e, portanto, sua mudança é considerada dependente da mudança na função de trabalho do metal. Embora classicamente, essa mudança é prevista através de ajuste e sem um mecanismo subjacente claro (por exemplo, a fórmula de Watchman), o modelo de Rahemi-Li [^[5]] demonstra como a mudança na função de trabalho de elétrons leva a mudança no módulo de metais de Young e prediz essa variação com parâmetros calculáveis, usando a generalização do potencial de Lennard-Jones para sólidos. Em geral, à medida que a temperatura aumenta, o módulo de Young diminui por meio da função

E(T)=\beta (\phi (T)^{6}

Na qual a função de trabalho do elétron varia com a temperatura como

\phi (T)=\phi _{0}-\gamma {(K_{B}T)^{2} \over \phi _{0}}

e $\gamma$ é uma propriedade calculável do material na qual é dependente de sua estrutura cristalina (por exemplo, CFC, CCC, HC). $\varphi _{0}$ é a função de trabalho de elétrons em $T=0$ e $\beta$ é constante durante a mudança.

Ver também

Referências

↑ Truesdell, C. (1960). «The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies 1638–1788». doi:10.1007/978-3-0348-5015-5
↑ Da Silva, J.D.; Ferreira, J.A. (13 de outubro de 2004). «O Princípio de Saint-Venant em Elasticidade Não Linear». TEMA - Tendências em Matemática Aplicada e Computacional. 5 (2). ISSN 2179-8451. doi:10.5540/tema.2004.05.02.0337
↑ «corrected excitation spectrum». Research Triagle Park, NC: IUPAC. ISBN 0967855098
↑ Ferreira, Miguel (30 de março de 2014). «Lei de Hooke». Revista de Ciência Elementar. 2 (1). ISSN 2183-1270. doi:10.24927/rce2014.103
↑ Rahemi, Reza; Li, Dongyang (abril de 2015). «Variation in electron work function with temperature and its effect on the Young's modulus of metals». Scripta Materialia. 99: 41–44. ISSN 1359-6462. doi:10.1016/j.scriptamat.2014.11.022

Ligações externas

Fórmulas de conversão
Materiais lineares homogêneos e isotrópicos tem suas propriedades elásticas determinadas unicamente por qualquer dois módulos dentre estes, e assim dados quaisquer dois, qualquer outro dos módulos elásticos pode ser determinado de acordo com estas fórmulas.
	$(K,\,E)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(K,\,\nu )$	$(E,\,G)$	$(E,\,\nu )$	$(\lambda ,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(G,\,M)$
$K=\,$	$K$	$K$	$K$	$K$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	$E$	${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$3K(1-2\nu )\,$	$E$	$E$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$\lambda$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda$	$\lambda$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	$M-2G\,$
$G=\,$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	$G$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	$G$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	$G$	${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$	$G$	$G$
$\nu =\,$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$\nu$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	$\nu$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\nu$	$\nu$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	$M$
A matriz constitutiva (9 por 9, ou 6 por 6 na notação de Voigt) da lei de Hooke (em três dimensões) pode ser parametrizada com somente duas componentes independentes para materiais homogêneos isotrópicos. Qualquer par pode ser escolhido entre os módulos elásticos apresentados. Algumas das possíveis conversões são apresentadas na tabela.
Bibliografia: G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

[1] Truesdell, C. (1960). «The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies 1638–1788». doi:10.1007/978-3-0348-5015-5

[2] Da Silva, J.D.; Ferreira, J.A. (13 de outubro de 2004). «O Princípio de Saint-Venant em Elasticidade Não Linear». TEMA - Tendências em Matemática Aplicada e Computacional. 5 (2). ISSN 2179-8451. doi:10.5540/tema.2004.05.02.0337

[3] «corrected excitation spectrum». Research Triagle Park, NC: IUPAC. ISBN 0967855098

[4] Ferreira, Miguel (30 de março de 2014). «Lei de Hooke». Revista de Ciência Elementar. 2 (1). ISSN 2183-1270. doi:10.24927/rce2014.103

[5] Rahemi, Reza; Li, Dongyang (abril de 2015). «Variation in electron work function with temperature and its effect on the Young's modulus of metals». Scripta Materialia. 99: 41–44. ISSN 1359-6462. doi:10.1016/j.scriptamat.2014.11.022

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