Parâmetros de Lamé

Na elasticidade linear, os parâmetros de Lamé são os dois parâmetros

• $~\lambda$, também denominado primeiro parâmetro de Lamé,
• $~\mu >~0$, o módulo de cisalhamento ou segundo parâmetro de Lamé,

que, em materiais homogêneos e isotrópicos, satisfazem a lei de Hooke tridimensional,

$\sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\mathrm {tr} (\varepsilon )I$

sendo σ o tensor tensão, ε o tensor deformação, $\scriptstyle I$ a matriz identidade e $\scriptstyle \mathrm {tr} (\cdot )$ a função traço.

O primeiro parâmetro $~\lambda$ é relacionado com o módulo de compressibilidade e o módulo de cisalhamento $K=\lambda +(2/3)G$, sendo usado para simplificar a matriz de rigidez na lei de Hooke. Embora o módulo de cisalhamento, $~\mu$, deva ser positivo, o primeiro parâmetro de Lamé, $~\lambda$, pode ser negativo, em princípio; contudo, para a maioria dos materiais é também positivo. Os dois parâmetros juntos constituem uma parametrização do módulo elástico para meios homogêneos isotrópicos, popular na literatura matemática, sendo assim relacionados a outros módulos elásticos.

Os parâmetros foram definidos por Gabriel Lamé.

Bibliografia

1. Keith D. Hjelmstad, Fundamentals of Structural Mechanics, Springer Science & Business Media, 2007, ISBN 0-387-23331-8 (em inglês)
2. Richard Chapman, Physics for Geologists, Second Edition, CRC Press, 2002, ISBN 0-415-28805-3 (em inglês)
3. Mario Como, Antonio Grimaldi, Theory of Stability of Continuous Elastic Structures, CRC Press, 1995 ISBN 0-849-38990-9 (em inglês)
4. Tod A. Laursen, Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis, Springer Science & Business Media, 2002 ISBN 3-540-42906-9 (em inglês)
5. Werner Soedel, Sound and Vibrations of Positive Displacement Compressors, CRC Press, 2006 ISBN 1-420-00644-4 (em inglês)

Fórmulas de conversão
Materiais lineares homogêneos e isotrópicos tem suas propriedades elásticas determinadas unicamente por qualquer dois módulos dentre estes, e assim dados quaisquer dois, qualquer outro dos módulos elásticos pode ser determinado de acordo com estas fórmulas.
	$(K,\,E)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(K,\,\nu )$	$(E,\,G)$	$(E,\,\nu )$	$(\lambda ,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(G,\,M)$
$K=\,$	$K$	$K$	$K$	$K$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	$E$	${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$3K(1-2\nu )\,$	$E$	$E$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$\lambda$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda$	$\lambda$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	$M-2G\,$
$G=\,$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	$G$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	$G$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	$G$	${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$	$G$	$G$
$\nu =\,$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$\nu$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	$\nu$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\nu$	$\nu$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	$M$
A matriz constitutiva (9 por 9, ou 6 por 6 na notação de Voigt) da lei de Hooke (em três dimensões) pode ser parametrizada com somente duas componentes independentes para materiais homogêneos isotrópicos. Qualquer par pode ser escolhido entre os módulos elásticos apresentados. Algumas das possíveis conversões são apresentadas na tabela.
Bibliografia: G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4