Fórmula Euler–Maclaurin

Em matemática, a fórmula de Euler-Maclaurin é uma fórmula para a diferença entre uma integral e uma soma intimamente relacionada. Pode ser usado para aproximar integrais por somas finitas ou, inversamente, para avaliar somas finitas e séries infinitas usando integrais e a máquina de cálculo. Por exemplo, muitas expansões assintóticas são derivadas da fórmula, e a fórmula de Faulhaber para a soma de poderes é uma consequência imediata.

A fórmula foi descoberta independentemente por Leonhard Euler e Colin Maclaurin por volta de 1735. Euler precisava dele para calcular séries infinitas de convergência lenta, enquanto Maclaurin o usava para calcular integrais. Posteriormente, foi generalizado para a fórmula de Darboux .

A fórmula

E se $m$ e $n$ são números naturais e $f(x)$ é uma função contínua de valor real ou complexo para números reais $x$ no intervalo $[m,n]$, então o integral

$I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx$

pode ser aproximado pela soma (ou vice-versa)

$S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)$

(ver método do retângulo ). A fórmula de Euler-Maclaurin fornece expressões para a diferença entre a soma e a integral em termos das derivadas superiores $f^{(k)}(x)$ avaliado nos pontos finais do intervalo, ou seja, quando $x=m$ e $x=n$ .

Explicitamente, por $p$ um número inteiro positivo e uma função $f(x)$ isso é $p$ tempos continuamente diferenciáveis no intervalo $[m,n]$, temos

$S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))}+R_{p},$

Onde $B_{k}$ é o $k$ o número Bernoulli (com $B_{1}=1/2$ ) e $R_{p}$ é um termo de erro que depende de $n$, $m$, $p$, e $f$ e geralmente é pequeno para valores adequados de $p$ .

A fórmula é frequentemente escrita com o subscrito assumindo apenas valores pares, já que os números ímpares de Bernoulli são zero, exceto $B_{1}$ . Nesse caso, temos

$\sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p},$

ou alternativamente

$\sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}.$

O termo restante

O termo restante surge porque a integral geralmente não é exatamente igual à soma. A fórmula pode ser derivada aplicando integração repetida por partes a intervalos sucessivos $[r,r+1]$ para $r=m,m+1,\ldots ,n-1$ . Os termos de contorno nessas integrações levam aos termos principais da fórmula, e as integrais restantes formam o termo restante.

O termo restante tem uma expressão exata em termos das funções de Bernoulli periodizadas $P_{k}(x)$ . Os polinômios de Bernoulli podem ser definidos recursivamente por $B_{0}(x)=1$ e para $k\geq 1$ ,

${\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}$

As funções Bernoulli periodizadas são definidas como

$P_{k}(x)=B_{k}(x-\lfloor x\rfloor ),$

Onde $\lfloor x\rfloor$ denota o maior número inteiro menor ou igual a $x$ (de modo a $x-\lfloor x\rfloor$ sempre fica no intervalo $[0,1)$ )

Com esta notação, o termo restante $R_{p}$ é igual a

$R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.$

Quando $k>0$, pode-se mostrar que

$|B_{k}(x)|\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),$

Onde $\zeta$ denota a função zeta de Riemann ; uma abordagem para provar essa desigualdade é obter a série de Fourier para os polinômios $B_{k}(x)$ . O limite é alcançado por igual $k$ quando $x$ é zero. O termo $\zeta (k)$ pode ser omitido por estranho $k$ mas a prova neste caso é mais complexa (ver Lehmer). Usando essa desigualdade, o tamanho do termo restante pode ser estimado como

$|R_{p}|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}|f^{(p)}(x)|\,dx.$

Casos de baixa ordem

Os números Bernoulli de $B_{1}$ para $B_{7}$ estão ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{6}},0,-{\tfrac {1}{30}},0,{\tfrac {1}{42}},0.$ Portanto, os casos de baixa ordem da fórmula de Euler-Maclaurin são:

${\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}$

Formulários

O problema da Basileia

O problema da Basileia é determinar a soma

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Euler calculou essa soma com 20 casas decimais com apenas alguns termos da fórmula de Euler-Maclaurin em 1735. Isso provavelmente o convenceu de que a soma é igual $\pi ^{2}/6$, o que ele provou no mesmo ano.

Soma envolvendo um polinômio

E se $f$ é um polinômio e $p$ é grande o suficiente, então o termo restante desaparece. Por exemplo, se $f(x)=x^{3}$, podemos escolher $p=2$ para obter, após simplificação,

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Aproximação de integrais

A fórmula fornece um meio de aproximar uma integral finita. Deixei $a<b$ ser os pontos finais do intervalo de integração. Consertar $N$, o número de pontos a serem usados na aproximação e denotam o tamanho do passo correspondente por $h=(b-a)/(N-1)$ . Conjunto $x_{i}=a+(i-1)h$, de modo a $x_{1}=a$ e $x_{N}=b$ . Então:

${\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}[f'(x_{1})-f'(x_{N})]-{\frac {h^{4}}{720}}[f'''(x_{1})-f'''(x_{N})]+\cdots .\end{aligned}}$

Isso pode ser visto como uma extensão da regra do trapézio pela inclusão de termos de correção. Observe que essa expansão assintótica geralmente não é convergente; há algum $p$, dependendo de $f$ e $h$, de modo que os termos ultrapassaram o pedido $p$ aumentar rapidamente. Assim, o termo restante geralmente exige muita atenção.

A fórmula de Euler-Maclaurin também é usada para análises detalhadas de erros em quadratura numérica . Ele explica o desempenho superior da regra trapezoidal em funções periódicas suaves e é usado em certos métodos de extrapolação . A quadratura de Clenshaw-Curtis é essencialmente uma mudança de variáveis para lançar uma integral arbitrária em termos de integrais de funções periódicas onde a abordagem de Euler-Maclaurin é muito precisa (nesse caso particular, a fórmula de Euler-Maclaurin assume a forma de uma transformação discreta de cosseno ) . Essa técnica é conhecida como transformação de periodização.

Expansão assintótica de somas

No contexto da computação de expansões assintóticas de somas e séries, geralmente a forma mais útil da fórmula de Euler-Maclaurin é

$\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),$

Onde $a$ e $b$ são inteiros. Muitas vezes, a expansão permanece válida mesmo após tomar os limites $a\rightarrow -\infty$ ou $b\rightarrow +\infty$ ou ambos. Em muitos casos, a integral do lado direito pode ser avaliada na forma fechada em termos de funções elementares, embora a soma do lado esquerdo não possa. Então, todos os termos da série assintótica podem ser expressos em termos de funções elementares. Por exemplo,

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.$

Aqui, o lado esquerdo é igual a $\psi ^{(1)}(z)$, ou seja, a função poligama de primeira ordem definida por $\psi ^{(1)}(z)=(d/dz)^{2}(\log \Gamma (z))$ ; a função gama $\Gamma (z)$ é igual a $(z-1)!$ E se $z$ é um número inteiro positivo . Isso resulta em uma expansão assintótica para $\psi ^{(1)}(z)$ . Essa expansão, por sua vez, serve como ponto de partida para uma das derivações de estimativas precisas de erro para a aproximação de Stirling da função fatorial .

Exemplos

Se s for um número inteiro maior que 1, temos:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].$

Coletando as constantes em um valor da função zeta de Riemann, podemos escrever uma expansão assintótica:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.$

Para s igual a 2, isso simplifica para

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},$

ou

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .$

Quando s = 1, a técnica correspondente dá uma expansão assintótica para os números harmônicos :

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},$

Onde $\gamma \approx 0.5772156649015328606065$ é a constante de Euler-Mascheroni .

Provas

Derivação por indução matemática

Esboçamos o argumento dado no Apostole.

Os polinômios de Bernoulli B_n(x) e as funções periódicas de Bernoulli P_n(x) para n = 0, 1, 2, ... foram introduzidos acima.

Os primeiros vários polinômios de Bernoulli são

${\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\\&\vdots \end{aligned}}$

Os valores B_n(0) são os números de Bernoulli B_n . Observe que para n ≠ 1 nós temos

$B_{n}=B_{n}(0)=B_{n}(1),$

e para n = 1 ,

$B_{1}=B_{1}(0)=-B_{1}(1).$

As funções P_n concordam com os polinômios de Bernoulli no intervalo [0, 1] e são periódicos com período 1. Além disso, exceto quando n = 1, eles também são contínuos. Portanto,

$P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad (n\neq 1)$

Seja k um número inteiro e considere a integral

$\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,$

Onde

${\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&&({\text{since }}P_{0}(x)=1),\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}$

Integrando por partes, obtemos

${\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Usando $B_{1}(0)=-1/2$, $B_{1}(1)=1/2$, e somando o acima de k = 0 a k = n − 1, obtemos

${\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\dotsb +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Adicionando ( f ( n ) - f (0)) / 2 para ambos os lados e reorganizando, temos

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.$

Este é o caso p = 1 da fórmula de soma. Para continuar a indução, aplicamos integração por partes ao termo de erro:

$\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,$

Onde

${\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\frac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}$

O resultado da integração por partes é

${\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}$

S

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}(f'(n)-f'(0))-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.$

Este processo pode ser iterado. Desta forma, obtemos uma prova da fórmula de soma de Euler-Maclaurin que pode ser formalizada por indução matemática, na qual a etapa de indução depende da integração por partes e de identidades para funções de Bernoulli periódicas.

Veja também

• Soma de Cesàro
• Soma de Euler
• Fórmula da quadratura de Gauss-Kronrod
• Fórmula de Darboux
• Soma de Euler-Boole