Congruência (álgebra)

Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :$a\equiv b(mod\;m)$.

Breve história

Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.

Propriedade da congruência

• Se $a\equiv b(mod\;m)$ então existe um inteiro k tal que a = b + km.
• Sempre $a\equiv a(mod\;m)$;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$, então: $b\equiv a(mod\;m)$;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$ e $b\equiv c(mod\;m)$, então: $a\equiv c(mod\;m)$;
• Se $a.c\equiv b(mod\;m)$ e $c\equiv d(mod\;m)$ , então $ad\equiv b(mod\;m)$
• Se $a\equiv b(mod\;m)$, então: $(a+c)\equiv (b+c)(mod\;m)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$, então: $(a-c)\equiv (b-c)(mod\;m)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$, então: $a.c\equiv b.c(mod\;m)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$ e $c\equiv d(mod\;m)$, então: $a+c\equiv b+d(mod\;m)$;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$ e $c\equiv d(mod\;m)$, então: $a-c\equiv b-d(mod\;m)$;
• Se $a\equiv b(mod\;m)$ e $c\equiv d(mod\;m)$, então: $a.c\equiv b.d(mod\;m)$;

Observe que desta última propriedade acima deriva que:

• Se $a\equiv b(mod\;m)$ e $n$ é um número inteiro positivo, então: $a^{n}\equiv b^{n}(mod\;m)$;

• Se $a.c\equiv b.c(mod\;m)$, então: $a\equiv b(mod\;m/d)$, onde d é o máximo divisor comum de c e m.
• Se $ab\equiv c(mod\;m)$ e $a\equiv a_{1}(mod\;m)$ e $b\equiv b_{1}(mod\;m)$, então:

${a_{1}}{b_{1}}\equiv c(mod\;m)$;

$(m\pm a)(m\pm b)\equiv c(mod\;m)$;

$(m\pm a_{1})(m\pm b_{1})\equiv c(mod\;m)$

(Isto vale não apenas para dois fatores, como no caso, a e b).

Devido a uma propriedade das potências e outra das congruências já apresentadas:

• Se $a^{b}\equiv c{\pmod {m}}$, então $a^{bn}\equiv c^{n}{\pmod {m}}$.

Congruência linear

Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: $a.x\equiv b(mod\;m)$.

Propriedade da congruência linear

• Tenhamos uma congruência $a.x\equiv b(mod\;m)$ e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.

Equação Diofantina

Uma equação diofantina é uma equação da forma $\;ax+by=c$. Seja $\;d$ o MDC de $\;a$ e $\;b$, se $\;d$ não divide $\;c$ então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se $\;d|c$ então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: $X=X_{0}+(b/d)k$ e $Y=Y_{0}-(a/d)k$, onde $X_{0}$ e $Y_{0}$ são soluções particulares e $\;k$ é qualquer inteiro.

Ver também

• Aritmética modular
• Teorema de Euler
• Pequeno teorema de Fermat
• Teorema de Wilson
• Teorema do resto chinês
• Identidade de Bézout