Wielomian minimalny

Wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A$ – wielomian anulujący $\psi (\lambda )$ tej macierzy, tzn. $\psi (A)=0$ stopnia najniższego względem $\lambda$ o współczynniku jeden przy najwyższej potędze $\lambda .$

Równoważnie, dla przekształcenia liniowego $f$ zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian $\psi (\lambda ),$ że $\psi (f)$ (interpretując $f^{n}$ jako przekształcenie $f$ złożone ze sobą $n$ razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian $\psi$ jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze $\lambda .$

Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A.$

Wielomian minimalny $\psi (\lambda )$ macierzy $A$ jest związany z wielomianem charakterystycznym $\varphi (\lambda )$ następującą zależnością:

$\psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}},$

przy czym $D_{n-1}(\lambda )$ jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej

$[\lambda E-A]^{D},$ gdzie $E$ jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz $A.$

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

Algorytm wyznaczania

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego $\psi (\lambda )$ macierzy $A{:}$

1. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny $\varphi (\lambda )$ macierzy $A.$
2. Wyznaczamy macierz dołączoną $[\lambda E-A]^{D}$ macierzy $A.$
3. Znajdujemy $D_{n-1}(\lambda )$ będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej $[\lambda E-A]^{D}.$
4. Korzystając z wzoru $\psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}$ wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy $A.$

Przykład

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:

$A=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right).$

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy $A{:}$

$\varphi (\lambda )=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0&0\\0&\lambda -1&-1\\0&0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{3}.$

Następnie obliczamy macierz dołączoną $[\lambda E-A]^{D}$ macierzy $A,$ więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy $A{:}$

$D_{11}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{12}=-\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{13}=\left|{\begin{matrix}0&\lambda -1\\0&0\end{matrix}}\right|=0,$

$D_{21}=-\left|{\begin{matrix}0&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{22}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{23}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&0\end{matrix}}\right|=0,$

$D_{31}=\left|{\begin{matrix}0&0\\\lambda -1&-1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{32}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&-1\end{matrix}}\right|=\lambda -1,\quad D_{33}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2}.$

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona $[\lambda E-A]^{D}$ podanej macierzy $A$ ma postać:

$[\lambda E-A]^{D}=\left({\begin{matrix}(\lambda -1)^{2}&0&0\\0&(\lambda -1)^{2}&0\\0&\lambda -1&(\lambda -1)^{2}\end{matrix}}\right).$

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez $\lambda -1$ zatem ze wzoru:

$\psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}$

otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy $A$ ma postać: $\psi (\lambda )=(\lambda -1)^{2}.$

Zobacz też

• wielomian charakterystyczny