Dopełnienie algebraiczne

Dopełnienie algebraiczne – dopełnienie algebraiczne elementu $a_{ij}$ danej macierzy kwadratowej $A$ stopnia $n$ jest to iloczyn $(-1)^{i+j}$ oraz minora $M_{ij},$ czyli wyznacznika podmacierzy stopnia $n-1$ powstałego z usunięcia $i$-tego wiersza oraz $j$-ej kolumny macierzy $A.$

Dopełnienie algebraiczne elementu $a_{ij}$ macierzy $A$ oznacza się często symbolem $A_{ij}$, a macierz

${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}},$

złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną $[A_{ij}]$), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy $A.$

Przykład

Dana jest macierz:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-2&0\\3&0&1\\-1&1&-3\end{bmatrix}}$

Dopełnienia algebraiczne elementów $a_{11}$ oraz $a_{23}$ tej macierzy wynoszą, odpowiednio:

$A_{{\color {red}1}{\color {blue}1}}=(-1)^{{\color {red}1}+{\color {blue}1}}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&-3\end{vmatrix}}=-1$

$A_{{\color {OliveGreen}2}{\color {Brown}3}}=(-1)^{{\color {OliveGreen}2}+{\color {Brown}3}}\cdot {\begin{vmatrix}1&-2\\-1&1\end{vmatrix}}=1$

Zobacz też

• macierz dołączona

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cofactor, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).