Wiązka Gaussa

Wiązka Gaussa – pojęcie używane w optyce do opisu propagacji światła, w którym łączy się metody optyki geometrycznej i falowej. Opisuje monochromatyczną falę elektromagnetyczną rozchodzącą się wzdłuż osi. Cechy wiązki określane są przez rozwiązanie równań Maxwella dla fali o stałej częstotliwości, czyli z równania Helmholtza, z przybliżeniem przyosiowym.

W przekroju poprzecznym wiązki natężenie pola elektrycznego ma rozkład zgodny z krzywą Gaussa (stąd nazwa wiązki) o zmieniających się parametrach wzdłuż osi propagacji. Wiązka zwęża się w przybliżeniu liniowo aż do najwęższego punktu, zwanego ogniskiem lub talią wiązki, a następnie rozszerza się, wykazując zgodność z przewidywaniami praw dyfrakcji. Wzdłuż osi propagacji intensywność przestrzenna wiązki jest zgodna z profilem Lorentza, maksimum natężenia pola elektrycznego znajduje się w punkcie talii. Dla wiązki o określonym kierunku propagacji i długości fali wiązka Gaussa jest całkowicie określona przez podanie położenia przewężenia i średnicy wiązki w nim.

Promieniowanie o rozkładzie gaussowskim szczególnie dobrze opisuje emisję światła wielu laserów (wskaźnik dyfrakcji), ale może być również wykorzystywane w wielu innych sytuacjach związanych rozchodzeniem się promieniowania elektromagnetycznego. Analiza wiązki jest szczególnie interesująca, ponieważ z analizy fali elektromagnetycznej poprzez dość proste metody obliczeniowe umożliwia prezentację wielkości optyki falowej takich jak faza fali czy dyfrakcja światła.

Opis matematyczny

Osiowo symetryczną wiązkę Gaussa dla monochromatycznej fali, propagującą się w kierunku osi z, opisuje zależność na amplitudę pola elektrycznego. Rzeczywiste drgające pole elektryczne jest częścią rzeczywistą wyrażenia po przemnożeniu go przez czynnik zależności od czasu $\exp(-i2\pi ct/\lambda )$:

$E(r,z)=E_{0}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right),$

gdzie:

• r – promieniowa odległość od osi wiązki,
• z – odległość osiowa od ogniska wiązki (lub „talii”),
• i – jednostka urojona,
• $k=2\pi n/\lambda$ – liczba falowa, dla ośrodka o współczynniku załamania $n,$ i długości fali $\lambda ,$
• $E_{0}=E(0,0)$ – amplituda natężenia pola elektrycznego w punkcie początkowym $(r=0,z=0),$
• $w(z)$ – promień wiązki, w którym amplituda pola elektrycznego spada do 1/e jego wartości na osi w płaszczyźnie $z$ wzdłuż wiązki,
• $w_{0}=w(0)$ – promień wiązki w przewężeniu (talii),
• $R(z)$ – promień krzywizny frontów falowych wiązki w odległości $z,$
• $\psi (z)$ – faza Gouy’a w $z,$ dodatkowy składnik fazowy, poza tym który można przypisać prędkości fazowej światła.

W powyższym wzorze funkcja eksponencjalna z argumentem urojonym (druga) opisuje przestrzenne drganie fali, natomiast amplitudę opisuje funkcja eksponencjalna o argumencie rzeczywistym. Rozkład amplitudy w dowolnej płaszczyźnie z może być opisany funkcją Gaussa:

$|E(r,z)|=E_{0}{\frac {w_{0}}{w_{z}}}exp\left(-\left({\frac {r}{w_{z}}}\right)^{2}\right)=E_{max}exp\left(-\left({\frac {r}{w_{z}}}\right)^{2}\right).$

Natężenie promieniowania wyraża irradiancja określona wzorem:

$I(r,z)={\frac {|E(r,z)|^{2}}{2\eta }}=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right).$

Promień wiązki

Za promień wiązki w przekroju prostopadłym do osi wiązki rozumie się promień okręgu utworzonego z punktów, w których amplituda pola elektrycznego jest mniejsza e razy od jej wartości na osi wiązki. W miejscu przewężenia wiązki średnica wiązki jest najmniejsza i jest oznaczana przez $w_{0}.$ Promień wiązki opisuje zależność:

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{R}}}\right)}^{2}}},$

$z_{R}={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}.$

W odległości $(z_{R})$ od przewężenia $(z=0)$ natężenie wiązki jest równe:

$w(z_{R})=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z_{R}}{z_{R}}}\right)}^{2}}}={\sqrt {2}}w_{0}.$

Parametr $z_{R}$ nazywa się zakresem Rayleigha. Obszar po obu stronach przewężenia w odległości zakresu Rayleigha nazywany jest głębią ostrości lub parametrem konfokalnym wiązki. Dla wiązki rozchodzącej się w próżni głębia ostrości jest równa jest równa:

$b=2z_{R}={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}.$

W odległości znacznie większej od głębi ostrości $(z\gg z_{R}),$ promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania i wynosi:

$w(z)=w_{0}{\frac {z}{z_{R}}}={\frac {z\lambda }{2\pi w_{0}}},$

${\frac {\lambda }{2\pi w_{0}}}={\frac {w(z)}{z}}=\operatorname {tg} \theta ={\approx }\theta .$

Dla małych kątów wartość funkcji tangens jest równa jej argumentowi, stąd rozbieżność wiązki:

$\Theta =2\theta ={\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}.$

Faza fali

Faza fali w wiązce gaussowskiej opisana jest wyrażeniem:

$\varphi =kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z).$

Powierzchnia falowa określona przez składnik $kz$ jest falą płaską, drugi składnik sprawia, że fronty falowe są sferyczne, a promień sfery jest równy:

$R(z)={\frac {z^{2}+z_{0}^{2}}{z}}=z\left(1+\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)^{2}\right).$

Fala w centrum przewężenia jest płaska, co odpowiada, że promień jej frontu jest nieskończenie duży. Fala ma najmniejszy promień równy $2z_{0}$ dla $z=z_{0}.$ W odległości od centrum znacznie większej od zakresu Rayleigha promień fali jest proporcjonalny do odległości od centrum, co oznacza, że wiązka Gaussa daleko od źródła jest falą sferyczną wychodzącą z przewężenia.

Trzeci składnik, zwany przesunięciem fazowym Guoya, jest równy:

$\psi (z)=\operatorname {arctg} {\frac {z}{z_{R}}}.$

Zwiększa on odległość między frontami falowymi w porównaniu z długością fali zdefiniowaną dla fali płaskiej o tej samej częstotliwości. Oznacza to również, że fronty fazowe muszą rozchodzić się nieco szybciej, co prowadzi do skutecznie zwiększonej prędkości fazy lokalnej.

Właściwości wiązki

W charakterystycznych miejscach wiązka ma właściwości i może być przybliżona do:

W pobliżu centrum wiązki $|z|\ll z_{r}$ i $r\ll w_{r}$ zachodzi:

• natężenie światła w ma stałą wartość $I(0,z)\approx 1,$
• promień frontów falowych jest bardzo duży $R(z)\approx z_{0}/z,$
• przesunięcie fazowe Guoya jest niewielkie $\psi \approx 0.$

Wiązka taka może być przybliżona falą płaską.

W pobliżu odległości $z_{0}$ od przewężenia:

• $w(z_{0})={\sqrt {2}}w_{0},$ co skutkuje:
  • wiązka ma dwukrotnie większą powierzchnię,
  • natężenie światła jest połową natężenia w przewężeniu,
• opóźnienie fazowe w stosunku do fali płaskiej wynosi $\pi /4,$
• promień frontów fazowych (R) jest najmniejszy i wynosi $2z_{0}.$

Wiązka może być przybliżeniem fali sferycznej o początku w miejscu $-\!z_{0}.$

Daleko od przewężenia $(z\gg z_{0}){:}$

• promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania,
  • powierzchnia wiązki rośnie proporcjonalnie do kwadratu odległości,
  • natężenie światła w pobliżu osi wiązki zmniejsza się odwrotnie proporcjonalnie do powierzchni wiązki,
• promień frontów falowych rośnie proporcjonalnie do odległości,
• przesunięcie fazowe Guoya jest niemal stałe, dążąc do $\pi /2$ w nieskończoności.

Wiązka taka może być przybliżona falą sferyczną o środku sfery w przewężeniu.

Znaczenie wiązek Gaussa

Znaczenie wiązek Gaussa wynika ze specjalnych właściwości:

• Wiązka Gaussa ma gaussowski rozkład w każdym jej przekroju, zmienia się tylko promień wiązki.
• Wiązka gaussowska pozostaje gaussowska również po przejściu przez proste układy optyczne (np. idealne soczewki).
• Wiązka gaussowska to samospójny rozkład pola najniższego rzędu w rezonatorach optycznych pod warunkiem, że nie ma elementów powodujących zniekształcenia wiązki. Z tego powodu wiązki wyjściowe wielu laserów są gaussowskie.
• Światłowody jednomodowe mają zwykle profile wiązki zbliżone do gaussowskich, a w przypadkach innych profili, przybliżenie Gaussa jest popularne ze względu na stosunkowo proste obliczania propagacji wiązki.
• Istnieją tak zwane tryby wyższego rzędu, m.in. typu Hermite-Gauss. Mają one bardziej skomplikowane wzory pól i wymagają więcej parametrów do opisu wiązki.
• W przypadku rzeczywistych wiązek o niskiej jakości, można analizować je tak jakby były wiązkami gaussowskimi, przez wprowadzenie dodatkowych współczynników (M²).