Równanie stanu (termodynamika)

Równanie stanu – związek między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak:

• ciśnienie $p,$
• gęstość masy $\rho$ (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek),
• temperatura $T,$
• entropia $s,$
• energia wewnętrzna $u,$

który można zapisać w postaci następującego równania:

$p=p(\rho ,T,s,u\dots ).$

Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak ściśliwość lub sprężystość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promienie gwiazd.

Gaz doskonały

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu (równanie Clapeyrona) ma postać

$pV=nRT=k_{\mathrm {B} }TN,$

gdzie:

$p$ – ciśnienie,

$V$ – objętość,

$n$ – liczba moli,

$R$ – stała gazowa,

$T$ – temperatura w skali Kelvina,

$k_{\mathrm {B} }$ – stała Boltzmanna,

$N$ – liczba cząsteczek gazu,

stąd:

$p=k_{\mathrm {B} }T(N/V)=k_{\mathrm {B} }T\rho _{N},$

gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego $\rho _{N}$ to:

$\rho _{N}={\frac {N}{V}}.$

Gęstość masy $\rho$ to:

$\rho =m{\frac {N}{V}}=m\rho _{N},$

gdzie $m$ to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii $\epsilon$ to

$\epsilon =mc^{2}{\frac {N}{V}}=mc^{2}\rho _{N},$

gdzie:

$mc^{2}$ – całkowita energia cząsteczki o masie $m.$

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

$p={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{mc^{2}}}\epsilon =K\epsilon .$

Równanie politropy

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

$p=K\epsilon ^{\Gamma }=K\epsilon ^{1+{\frac {1}{w}}},$

gdzie:

$w$ – wykładnik politropy.

Równanie stanu gazu rzeczywistego

Równanie stanu gazu rzeczywistego można przybliżać na różne sposoby, np. (wzory dla jednego mola, $n=1$).

Równanie	Postać	Współczynnik krytyczny ${\frac {p_{\mathrm {k} }V_{\mathrm {k} }}{RT_{\mathrm {k} }}}$	Uwagi
równanie van der Waalsa	$\left(p+{\frac {a}{V^{2}}}\right)(V-b)=RT$	${\frac {3}{8}}=0{,}375$	najlepiej znane
równanie Clausiusa	$\left(p+{\frac {a}{(V+c)^{2}T}}\right)(V-b)=RT$
równanie Berthelota	$\left(p+{\frac {a}{TV^{2}}}\right)(V-b)=RT$	${\frac {3}{8}}=0{,}375$	lepiej niż r. v. d. W. opisuje zachowanie gazów przy niskich ciśnieniach i temperaturach wyższych od krytycznej
równanie Dietericiego	$p={\frac {RT}{V-b}}e^{-{\frac {a}{RTV}}}$	${\frac {2}{\mathrm {e} ^{2}}}\approx 0{,}271$	dla umiarkowanych ciśnień lepiej, dla wysokich gorzej zgadza się z doświadczeniem niż r. v. d. W.
równanie Wukałowicza-Nowikowa	$pV=RT\left(1-{\frac {pC}{T^{\frac {5+2f}{2}}}}\right)$
zaproponowane przez Callendara	$V-b={\frac {RT}{p}}-c_{0}\left({\frac {T_{0}}{T}}\right)^{w}$		nie można go stosować w pobliżu punktu krytycznego
zaproponowane przez Beattie i Bridgemana	${\frac {pV}{RT}}=\left(1-{\frac {c}{VT^{3}}}\right)\left(1+{\frac {B_{0}}{V}}-{\frac {B_{0}b}{V^{2}}}\right)-\left({\frac {A_{0}}{RTV}}\right)\left(1-{\frac {a}{V}}\right)$

Przy czym $a,b,c,C,f$ – stałe

Hipoteza stanów odpowiednich mówi, w odniesieniu do gazów, że dla tych samych parametrów zredukowanych gazy zachowują się tak samo, tak jak sugerują to równanie van der Waalsa, Berthelota i Dietericiego, czyli wykazują podobieństwo termodynamiczne.

Rozwinięcie wirialne:

${\frac {pV}{RT}}=1+{\frac {B(T)}{V}}+{\frac {C(T)}{V^{2}}}+{\frac {D(T)}{V^{3}}}+\dots$

lub

${\frac {pV}{RT}}=1+B'(T)p+C'(T)p^{2}+D'(T)p^{3}+\dots$

to najogólniejsza postać równania stanu gazów rzeczywistych.

Kosmologia

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy.

W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. W prostych modelach przyjmuje się, że poszczególne składniki wszechświata mają równanie stanu niezależne od temperatury, postaci

$P=w\rho c^{2}.$

• Dla „pyłu”, czyli zwykłej materii rozumianej jako „gaz galaktyk”, tak jak dla ciemnej materii, pomija się ciśnienie, czyli $w=0.$
• Dla „promieniowania”, materii ultrarelatywistycznej (gdy masa $m\to 0$), np. gazu fotonowego, $w=1/3.$
• Dla kwintesencji $w<-1/3.$
  • W szczególności dla stałej kosmologicznej $w=-1$

Bibliografia

• A. Hennel, W. Szuszkiewicz: Zadania i problemy z fizyki. T. 2. Warszawa: PWN, 1973. ISBN 83-01-03518-8.
• Równanie stanu gazów rzeczywistych. W: Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz Andrzej Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 2. Cz. 2. Warszawa: PWN, 1991. ISBN 83-01-09498-2. (pol.).