Przestrzeń ściągalna

Przestrzeń ściągalna – przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że odwzorowanie identycznościowe $\mathrm {id} _{X}$ na $X$ jest homotopijne z przekształceniem stałym na $X.$ Innymi słowy, przestrzeń topologiczna jest ściągalna gdy jest homotopijnie równoważna przestrzeni złożonej z jednego punktu.

Przykłady

• Przestrzenie euklidesowe są ściągalne.
• Sfera w przestrzeni Hilberta $H$ jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest nieskończenie wymiarowa.
• Grupa zespolonych macierzy ustalonego stopnia jest ściągalna. Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Kuipera, które mówi, że grupa operatorów odwracalnych na dowolnej przestrzeni Hilberta jest ściągalna. Podobnie, grupy operatorów na przestrzeniach $\ell _{p}(1\leqslant p<\infty )$ oraz c₀ są ściągalne. (Kuiper udowodnił to dla ośrodkowych przestrzeni Hilberta; twierdzenie zachodzi jednak w pełnej ogólności). Innymi przykładami przestrzeni Banacha, których grupy automorfizmów są ściągalne to przestrzeń Jamesa oraz $C[0,\omega _{1}]$.
• Rozmaitość Whiteheada jest ściągalna.

Własności

• Każde dwa przekształcenia ciągłe dowolnej przestrzeni w przestrzeń ściągalną są homotopijne.
• Każde przekształcenie ciągłe sfery $\mathbb {S} ^{n}\to X,$ gdzie $X$ jest ściągalna, można przedłużyć do odwzorowania $(n+1)$-wymiarowego dysku $\mathbb {D} ^{n+1}\to X.$
• Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
• Wszystkie grupy homotopii $\pi _{n}(X)$ oraz grupy homologii zredukowanych ${\tilde {H}}_{n}(X)$ przestrzeni ściągalnej $X$ są trywialne. Lecz nie odwrotnie.