Spazio contraibile

In matematica, uno spazio contraibile è uno spazio topologico su cui la funzione identità è omotopicamente nulla, cioè è omotopa a qualche funzione costante.^[1]^[2] Intuitivamente, uno spazio contraibile è uno spazio che può essere ridotto con continuità a un punto dello spazio stesso.

Proprietà

Uno spazio contraibile è uno spazio che ha lo stesso tipo di omotopia di un punto. Ne consegue che tutti i gruppi di omotopia di uno spazio contraibile sono banali. Pertanto, qualsiasi spazio con un gruppo di omotopia non banale non può essere contraibile. Allo stesso modo, poiché l'omologia singolare è un invariante di omotopia, i gruppi di omologia ridotta di uno spazio contraibile sono tutti banali.

Per uno spazio topologico $X$ le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$X$ è contraibile (cioè la funzione identità è omotopicamente nulla);
$X$ è omotopicamente equivalente a uno spazio di un punto;
$X$ è un retratto per deformazione di un punto (tuttavia esistono spazi contraibili che non sono retratti per deformazione forti di un punto);
per ogni spazio $Y$ connesso per archi, due qualsiasi funzioni $f,g\colon Y\to X$ sono omotope;
per ogni spazio $Y,$ qualsiasi funzione $f\colon Y\to X$ è omotopicamente nulla.

Il cono su uno spazio $X$ è sempre contraibile. Pertanto qualsiasi spazio può essere immerso in uno spazio contraibile (il che mostra anche che i sottospazi degli spazi contraibili non sono necessariamente contraibili).

Inoltre, $X$ è contraibile se e solo se esiste una retrazione dal cono di $X$ a $X.$

Ogni spazio contraibile è connesso per cammini e semplicemente connesso. Inoltre, poiché tutti i gruppi di omotopia superiori sono nulli, ogni spazio contraibile è n-connesso per ogni $n\geq 0.$

Spazi localmente contraibili

Uno spazio topologico è localmente contraibile se ogni punto ha una base locale di intorni contraibili. Gli spazi contraibili non sono necessariamente localmente contraibili né è vero il viceversa. Ad esempio lo spazio pettine è contraibile ma non localmente contraibile (se lo fosse, sarebbe localmente connesso, cosa che non è). Gli spazi localmente contraibili sono localmente $n$ -connessi per ogni $n\geq 0.$ In particolare sono localmente semplicemente connessi, localmente connessi per cammini e localmente connessi.

Esempi e controesempi

Qualsiasi spazio euclideo è contraibile, così come qualsiasi insieme stellato in uno spazio euclideo.
La varietà di Whitehead è contraibile.
Le sfere di qualsiasi dimensione finita non sono contraibili.
La sfera unitaria in uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è contraibile.
La casa con due stanze è un esempio standard di spazio contraibile.
Il cono sull'orecchino hawaiano è contraibile (poiché è un cono), ma non è localmente contraibile né localmente semplicemente connesso.
Tutte le varietà differenziabili e i CW-complessi sono localmente contraibili, ma non contraibili in generale.
La circonferenza di Varsavia si ottiene "chiudendo" la curva sinusoidale del topologo mediante un arco che collega $(0,-1)$ e $(1,\sin(1)).$ È uno spazio unidimensionale i cui gruppi di omotopia sono tutti banali ma non è contraibile.