Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Håvard Solås Taugbøl pojawił się 13 grudnia 2009 roku w Sjusjøen, gdzie w zawodach juniorskich zajął 28. miejsce w sprincie stylem dowolnym. W 2011 roku wystartował na olimpijskim festiwalu młodzieży Europy w Libercu, gdzie był między innymi czwarty w biegu na 7,5 km stylem dowolnym, a w sztafecie mieszanej zdobył złoty medal. Rok później wystąpił na mistrzostwach świata juniorów w Erzurum, zdobywając wspólnie z kolegami z reprezentacji brązowy medal w sztafecie. W startach indywidualnych zajmował trzynaste miejsce w sprincie stylem dowolnym oraz dziewiętnaste w biegu łączonym na 20 km. Ponadto na mistrzostwach świata juniorów w Libercu Norwegia z Taugbølem w składzie zdobyła srebrny medal w sztafecie. W startach indywidualnych był tym razem 21. w biegu łączonym oraz dziewiąty w biegu na 10 km techniką dowolną.
W zawodach Pucharu Świata zadebiutował 15 grudnia 2013 roku w Davos, zajmując 21. miejsce w sprincie stylem dowolnym. Tym samym już w swoim debiucie zdobył pierwsze pucharowe punkty. W sezonie 2013/2014 wystąpił jeszcze jeden raz, 1 marca 2014 roku w Lahti zajmując jedenaste miejsce w tej samej konkurencji. W efekcie zajął 106. miejsce w klasyfikacji generalnej. Najlepsze wynik osiągnął w sezonie 2014/2015, kiedy był między innymi czwarty w sprincie stylem dowolnym 7 marca 2015 roku w Lahti. Walkę o podium przegrał tam z FrancuzemRichardem Jouve o 0,25 sekundy. W klasyfikacji generalnej zajął ostatecznie 61. miejsce.